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E, S possano considerarsi come ottenute dalle m, n, r, s mediante una trasfor- 

 mazione comprendente l'identità, che cioè, essendo M, N, R, S funzioni di 

 m, n, r, s, siano possibili le eguaglianze simultanee 



M = m , N = * , R = r ; S = s ( ! ), [B) 



a quel sottogruppo corrisponderà un sottogruppo eccezionale del gruppo li- 

 neare. — E reciprocamente : ad ogni sottogruppo eccezionale del gruppo lineare 

 corrisponde un sottogruppo del gruppo aritmetico [A]; e il grado di gene- 

 ralità di un tale sottogruppo, oltreché dall' indipendenza delle m, n, r, s 

 entro il campo ms — nr = 1, risulta dalla possibilità delle [B], dal potersi 

 cioè considerare M, N, R, S come ottenute dalle m, n, r, s mediante una 

 trasformazione comprendente l'identità. 



« 1. Fondamento della presente Nota sono alcuni teoremi contenuti nella 

 mia Memoria : « I gruppi transitivi di sostituzioni dell'istesso ordine e 

 grado » ( 2 ). Di essi ebbi già a far uso in altri lavori, e segnatamente nella 

 Memoria: « Intorno ad alcune proposizioni della teoria delle sostituzioni »( 3 ). 

 Li ricorderò brevemente, a fine di poter conseguire maggior chiarezza dipoi. 



«. Assumendo come rappresentatrice di una determinata sostituzione S 

 di un gruppo U la sostituzione (T, TS), la quale surroga ogni sostituzione T 

 di 77 con il prodotto TS, l'insieme delle sostituzioni (T, TS) sarà un gruppo 



ti' = (T, TS) 



in isomorfismo oloedrico con 77 ( 4 ). Rappresentando S con la sostituzione 

 (T, S _1 T), anche V insieme delle sostituzioni (T, S -1 T) sarà un gruppo 



n" = (T, S- 1 T) 



in isomorfismo oloedrico con II ( 5 ). Immaginando che le sostituzioni di TI 

 siano contrasegnate ciascuna da un indice, che supporrò eguale ad 1 per la 

 sostituzione unitaria, le sostituzioni di n e di n" permuteranno fra loro 

 gl'indici di quelle di 77. Ricorderò pertanto che: 



il determinante si trasforma in sè medesimo. Il sistema delle sostituzioni lineari sulle X 

 forma poi gruppo, ed è a determinante 1. Risulta inoltre dalla verificazione diretta, che, 

 qualora si facesse astrazione dalle condizioni poste per i determinanti delle A e delle a, il 

 determinante del sistema di sostituzioni sulle X risulterebbe eguale al prodotto delle n me 

 potenze di quei due: mentre il determinante delle X sarebbe il prodotto del determinante 

 delle A e di quello delle a, moltiplicati per il determinante delle x. 



( 1 ) Questa condizione è per esempio soddisfatta ponendo M = m (mod. a); N = k 

 (moà. ò) ; R = r (mod. e) ; S = s (mod. d) ; essendo a, b, c, d numeri interi. 



( 2 ) Atti della R. Accademia dei Lincei, 1882-83. 



( 3 ) Atti della R. Accademia dei Lincei, 1883-84. 



( 4 ) Nelle citate mie Memorie esso vien detto gruppo potenziale di II. 



( 5 ) Gruppo antipotenziale di n, secondo le dette mie Memorie. 



