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« 1° Due sostituzioni qualunque, l'una appartenente air e l'altra a re", 

 sono permutabili fra loro. 



« 2° Ad ogni sottogruppo di lì corrisponde una distribuzione degli ele- 

 menti di ri o dei loro indici in sistemi d' imprimitività di ti", e degli ele- 

 menti di re" in sistemi d' imprimitività di ri. Le due distribuzioni banno 

 poi un sistema comune, composto degl' indici delle sostituzioni del sotto- 

 gruppo ebe le determina. 



« 3° Reciprocamente: Ad ogni distribuzione degli elementi di re' in si- 

 stemi d' imprimitività di re", o degli elementi di re" in sistemi d' imprimi- 

 tività di re', corrisponde un sottogruppo di 17, composto delle sostituzioni i 

 cui indici sono quelli del sistema principale, intendendo per sistema prin- 

 cipale quello ebe contiene l'indice 1 della sostituzione unitaria. 



« 4° Affinchè un sottogruppo di Ti dia nascita a due distribuzioni iden- 

 tiche degli elementi di re' e re" in sistemi d' imprimitività, è necessario e 

 sufficiente che esso sia eccezionale in lì. 



« Da quest'ultima proposizione s'inferisce che i sottogruppi eccezionali 

 di lì corrispondono a distribuzioni degl'indici delle sostituzioni di esso Ti 

 in sistemi d'imprimitività comuni a re' e a re" ; vale a dire in sistemi d'im- 

 primitività del gruppo J che risulta dalla combinazione di re e di re" . 

 Quanto alla forma di J, ricordando che ogni sostituzione di re' è permuta- 

 bile con ciascuna sostituzione di re", si trova facilmente che 



j = ( T , S- 1 TS,) , [CJ 

 significando S ed S! due sostituzioni qualunque di TI, che, in ogni sostitu- 

 zione di J, mentre T varia in tutto il campo IT, restano ferme. 



« I sottogruppi eccezionali di IT corrispondono dunque ai sistemi d'im- 

 primitività di J. D'altra parte, come ho dimostrato nell'appendice della 

 seconda delle mie Memorie già citate, i sistemi d'imprimitività di un gruppo 

 transitivo (e tale è il gruppo J) corrispondono univocamente ai sottogruppi di 

 esso ebe contengono quello delle sostituzioni le quali non ispostano un ele- 

 mento fissato ad arbitrio. Perciò esisterà anche corrispondenza univoca fra 

 i sottogruppi eccezionali di li e quei sottogruppi di J che contengono il 

 gruppo delle sostituzioni che in esso 4 non ispostano l'elemento 1. 



« Conosciuto che sia uno qualsiasi di siffatti sottogruppi di 4, le sosti- 

 tuzioni S _1 S, onde l'unità può essere surrogata per effetto delle sostitu- 

 zioni del sottogruppo medesimo, sono quelle che compongono il relativo 

 sottogruppo eccezionale di IT (v. l'appendice c. s.). 



i 2. Il gruppo J è duplicemente isomorfo al gruppo TI. Perchè, al va- 

 riare simultaneamente di S e di S x in tutto il campo delle sostituzioni di IT, 

 senza che fra S ed Si siasi stabilito legame di sorta, J si conserva iso- 

 morfo a TI, tanto per rispetto ad S, come per rispetto ad S x . Ponendo infatti 



J' = (T, S' TS'O ; J" = (T, S" TS'\) 



