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e facendo il prodotto delle sostituzioni J' e J", si avrà 



J' J" = (T, (S' S")" 1 T (S', S^)), [D] 



forinola che dimostra il doppio isomorfismo anzidetto. 



« Se IJ è un gruppo le cui sostituzioni, a guisa di quelle del gruppo 

 lineare, dipendano da certi parametri a,fi,y,S ecc., l'espressione S^TS^ oltre 

 che da a, fi, y, ó ecc., dipenderà da due altre serie di quantità, m, n, r, s ecc., 

 M, N, R, S ecc., valori dei parametri a, fi, y, ó . . ! -, relativi ordinatamente ad S 

 e ad Si. Avverrà pertanto, che, facendo il prodotto S _1 TS! (prodotto che è 

 anch'esso una sostituzione di II e perciò ha la stessa forma che T), ai para- 

 metri a, fi, y, ó ecc. relativi a T, sottentreranno quelli che sono relativi al 

 suddetto prodotto, e che i nuovi parametri a', fi', y , è' ecc., saranno funzioni 

 delle quantità delle tre serie 



a, fi, y, è ecc.; m, n, r, s ecc.; M, N, E, S ecc. 



« Il sottentrare delle a' fi' y à' ecc. alle a,fi,y,S ecc., si potrà poi consi- 

 derare come l'effetto di certe sostituzioni aritmetiche eseguite su quest'ultime 

 quantità. L'insieme di tali sostituzioni forma un gruppo aritmetico 4>, perchè 

 l'eguaglianza 



S^s'Wx S", = (S' S")~T (S\ S'\), 



mostra che la consecutiva applicazione delle due sostituzioni mediante le 

 quali dai parametri di T si passa a quelli dei prodotti S' -1 TS\ , S" -1 TS"i, 

 equivale a quella di un' unica sostituzione, evidentemente del medesimo tipo, 

 mediante la quale si passa dai parametri di T a quelli del prodotto indicato 

 dal secondo membro dell'eguaglianza medesima. 



« Considerando per esempio il gruppo lineare, e ponendo 



*i§ti : : s =(^) : ; 



si trova con facili calcoli che, facendo il prodotto S _1 TSi, i parametri a,fi,y,ó 

 relativi a T si trasformano ordinatamente in 



(m — fir) M -f (ys — ór) N = d 



(firn — ad) M -J- (dm — yn) N = fi' 



(as — fir) E + (ys — ór) S = / 



(firn — ari) E -f- — Y, n ) S — S'. 



« Queste formole forniscono pel gruppo lineare il gruppo aritmetico <P, 

 lineare e di determinante 1 per rispetto ad a, fi, y, ó. 

 « Il gruppo 



(ccz + fi + A 



\y S + d ' y's+ó'} 



