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è poi isomorfo al gruppo 



' / ms + n \( M£+N\ 

 V' r^-ji-s /— V ' Ik + S/ 

 per rispetto all'una e all'altra delle due quaterne di quantità M,N,K,S ed 

 m,n,r,s; come risulterebbe d'altra parte esaminando il prodotto di due delle 

 sue sostituzioni. 



« 3. Si consideri di nuovo il gruppo [C], e si supponga che, mentre S 

 varia liberamente nel campo di 77, Si varii anch'essa : ma come funzione 

 di S a più valori ; e che fra questi valori sia compresa la stessa S. Si supponga 

 inoltre che la funzione Si della S sia isomorfa per rispetto ad S, che cioè, se S\ 

 ed S"i sono valori della funzione Si , corrispondenti ai valori S' ed S" della 

 variabile indipendente S, il prodotto S', S" sia un valore di S x corrispondente 

 al valore S' S" della S. La [D] mostra che alla supposta relazione fra S ed Sj 

 corrisponderà un sottogruppo del gruppo generale /I. 



« Apparisce inoltre dalla [C] che un tal sottogruppo conterrà tutte le 

 sostituzioni di J che non ispostano l'elemento T — 1 ; perchè Si contiene per 

 ipotesi S tra i suoi valori. Dunque, per il teorema scritto in corsivo nel 

 n. 1 di questa Nota, alla supposta relazione fra S ed Si corrisponderà un 

 sottogruppo eccezionale di 77. Questo sottogruppo sarà poi composto delle 

 sostituzioni 



S- 1 S, [E] 



che nel gruppo J corrispondono all'elemento T — 1 ( J ). Reciprocamente, e per 

 lo stesso teorema del n. 1, ad ogni sottogruppo eccezionale di 77 corrisponderà 

 un sottogruppo di 4 contenente Yintero gruppo delle sostituzioni che in esso J 

 non ispostano l'elemento 1: e a ciò si richiede evidentemente, che la S possa 

 variare liberamente entro il campo di 77; e che Si (funzione di S) con- 

 tenga S e sia in isomorfismo con essa. 



« 4. Se 77 è un gruppo analitico, si riferiscano le cose dette nel numero 

 precedente, non più al gruppo i, ma al noto gruppo 0> di sostituzioni arit- 

 metiche sui parametri a,p,y,ó ecc.; e si scorgerà facilmente che, supponendo 

 le quantità m, n, r, s ecc. non legate fra loro da vincoli che non siano quelli 

 imposti ad esse dalla natura stessa di 77; supponendo inoltre che M, N,R, S ecc. 

 siano ciò che le m J n,-r,s ecc. diventano per effetto di una trasformazione con- 

 tenente l'identità, i sottogruppi eccezionali di 77 corrisponderanno ai sotto- 



0) Si noti che il sottogruppo non può coincidere col gruppo totale TI, e neppure ri- 

 dursi all'unica sostituzione unitaria. Infatti, se il sottogruppo fosse il gruppo totale, il 

 prodotto S _1 Si si potrebbe agguagliare ad ogni sostituzione di TI. Detta pertanto 2 una 

 qualsiasi sostituzione di J7, si avrebbe Si = S2. Perciò Si, ferma restando S, potrebbe as- 

 sumere ogni possibile valore nel campo TI. Essa dunque non sarebbe funzione di S, contro 

 l'ipotesi. Se poi il sottogruppo si riducesse all'unica sostituzione unitaria, talché si avesse 

 Si = S, la S, sarebbe funzione di S ad un solo valore, il che è anche contro l'ipotesi. 



