— 260 — 



osservai, può avere una importanza più teorica che pratica, riuscendo utile, 

 a causa della sua generalità, piuttosto come strumento di investigazione che 

 per la determinazione numerica delle radici della (1). Infatti, quando anche 

 sia conosciuto il non residuo g, per ottenere, mediante la (2), il valore di 

 quelle radici, è necessario calcolare successivamente le * 0 , e u B . , s s _ 2 nel- 

 l'ordine in cui sono scritte, o, per tentativi, la quantità complessiva: 



*o + 2* + ... + 2 S " 2 £ S _ 2 . 



« Pel caso però di s = 2, la (2) mi permise di stabilire una vera for- 

 mula risolutiva della (1) mediante i soli elementi noti; ciò che, per quanto 



10 sappia, non veniva fatto coi metodi fin qui adoperati per lo studio di quella 

 congruenza. Questo risultato io potei ottenerlo perchè, per s = 2, si conosce 

 un numero (il 3), il quale gode quella proprietà che aumentato di 1 fornisce 

 un residuo, e diminuito di 1 fornisce un non residuo. 



« Ora se anche nel caso di s qualunque, fosse possibile di eliminare 

 dalla (2) le s, riducendola a contenere, oltre g, solo elementi noti, si sarebbe 

 fatto un passo verso la completa soluzione della congruenza (1). La elimina- 

 zione delle £ si potrà effettuare quando anche nel caso generale si conosca 

 un numero k il quale goda della stessa proprietà di cui gode il numero 3 

 pel caso speciale di s = 2. 



« Supponendo s^2 (perchè per s = 1 la (1) si risolve immediatamente) 



11 numero k sarà noto quando si conosca un numero h della serie: 

 (3) 1,2,.. ,^ — 1 



che sia compreso tra un residuo ed un non residuo : infatti uno dei due numeri: 



=±= h 



sarà certo tale che aumentato di 1 fornisce un residuo e diminuito di 1 for- 

 nisce un non residuo. 



« L'esistenza di un tal numero h è evidente nella serie (3), perchè in 

 essa i residui ed i non residui non possono presentarsi sempre alternati, come 

 è noto e come si capisce subito osservando che 1,4 sono ambedue residui. 

 Nella serie (3) dovrà quindi presentarsi una successione almeno di due o più 

 residui ed una successione almeno di due o più non residui. Se s = 2 ab- 

 biamo già osservato che per k può assumersi il numero 3, appunto perchè 

 il 3 o termina una successione di non residui (2, 3) o inizia una successione di 

 residui (3, 4) secondo che 3 è non residuo o residuo di p. 



« Ma si potrebbe anche prendere k = p — 2 se 3 e quindi p — 3 è non 

 residuo, o k=p — s -f- 1 se p — sèil primo non residuo della serie decre- 

 scente : 



p — 3,p — é,p — 5,.... 

 (!) Cf. p. e., Serret, Cours cV Algebre. Voi. II, pag. 95. 



