— 264 — 

 « Finalmente se s = 3 si avrà : 



= + (e* -f * + 4 <? 8 —k te 16 (mod/-) 



e se, essendo p = 2 3 a 1 , la « non è divisibile per 3 si potrà prendere 

 A = — 2, e se « è divisibile per 3, ma nò « nè 4a -f- 1 sono divisibili per 5, 

 potremo prendere Jc — — 4. 



« Troppo complicata riescirebbe a scriversi la formula se s > 3 : però 

 quando inp = 2« -f- 1 la a non sia divisibile per 3, o non sia divisibile per 5 



s-3 . j£ 



nè a nè 2«-f-l, la (1) può ritenersi completamente risoluta mediante 

 la (5), potendosi prendere in un caso k = — 2 e nell'altro k — — 4. In questo 

 modo potremo ritenere come risolute infinite congruenze della forma (1) quando 



s 



sia p = 2a e s >. 3. 



« 5. La soluzione della (1) in ogni caso è così ricondotta alla ricerca 

 di un numero che goda della proprietà di quello da noi accennato con k, 

 ovvero alla ricerca del primo non residuo di p contenuto nella serie (3); per 

 cui questa condizione non è, in fondo, più restrittiva di quella che ponemmo 

 per istabilire la formula (2): infatti ove per ispeciali condizioni della pro- 

 posta congruenza (1) non sia conosciuto il non residuo g, e quindi lo si debba 

 in qualche modo cercare, è logico, andando per tentativi, di incominciare le 

 prove dai più piccoli numeri della serie (3). Inoltre abbiamo il mezzo di 

 limitare assai i tentativi da farsi, perchè il primo non residuo deve essere 

 necessariamente un numero assolutamente primo: e supponendo a divisibile 

 per ■ 3 dovremo considerare successivamente i numeri : 



5, 7,11, 13, 17,... 

 per arrestarci indubbiamente al numero assolutamente primo che precede 



P l S-2 



4 = 2f< - Ma si può anche far vedere che un non residuo di p deve tro- 

 varsi nella serie più ristretta dei numeri primi non superiori a: 



o 



« Infatti si vede molto facilmente che non possono essere residui tutti 

 i numeri della serie: 



1,2,3,...,2« = P -— - 

 4 



