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« Ora il prof. Volterra nelle sue lezioni in corso di fisica matematica, 

 proseguendo nell'analogia che presenta lo studio degli integrali delle equa- 

 zioni dell'equilibrio dei corpi elastici isotropi con la teoria della funzione 

 potenziale dei corpi a tre dimensioni, ha stabilito un teorema analogo a quello 

 del Poisson. Partendo egli infatti dalle formule (1) e posto : 



(2) M = j w x , N= f 2>Xw 2 dS, F=J s 2gXu 3 dS 



dimostra che le tre funzioni : 



1 



M, -7-rN, 



4/rL ' 4/rL ' 4/rL 

 soddisfano alle equazioni : 



L^ + (L + K)^ = ? X (i) 



L^A, + (L + K)^- = <>Y j 0= ^l + ^ + ^3| 

 ~ v 1 * ( Isa 1 l>y 1 Ite ) 



■LJ*hs + (L + K)^ = gZ. 



« Bisogna però notare che il metodo tenuto dal prof. Volterra, come 

 pure i metodi analoghi a quelli che ordinariamente si tengono per dimo- 

 strare il teorema del Poisson, portano a delle condizioni molto restrittive per 

 le funzioni qX, qY, qZ. 



« Ma quello che interessa maggiormente riguardo al teorema del Poisson 

 è, di stabilirlo ponendo il minor numero di condizioni per la funzione den- 

 sità. A questo scopo il sig. Otto Holder, il prof. Morera ed il sig. Krone- 

 cker hanno dato dei nuovi metodi di dimostrazione, i quali portano a risul- 

 tati molto generali. Tra questi metodi ho trovato più semplice ed interes- 

 sante quello del prof. Morera ( 2 ); metodo che mi propongo di estendere al 

 caso dell'elasticità, consigliato dal sig. prof. Volterra. 



« 2. Dalla prima delle (2) si ha, derivando rispetto ad X\ : 



(3) ^ = -f^X^S. 



L' integrale al secondo membro è proprio; infatti se poniamo: x — x x =r costì, 

 y — y.-ì—f sen 0 cos <p, z — Si = r sen 0 sen tp, si trova facilmente che 



lim r 2 ^X è uguale ad una quantità finita. 



r=0 ~ÙX 



« Indichiamo con g 0 X 0 , q 0 Y 0 , q 0 Z 0 i valori, supposti finiti, di qX, 

 qY, qZ nel punto x x , y t , a del corpo S, e poniamo : 



qX = eoX 0 + (qX — q 0 X 0 ) , qY = co Y 0 + (qY — co Y 0 ) , 

 qZ = ?0 Z 0 -f- (qZ — q 0 Z 0 ) ; 



(*) Il valore di K è uguale a q (2a 2 — l 2 ). 



( 2 ) Kendiconti dell' Istituto Lombardo, § II, T. XX. 



Eendiconti. 1893, Vol. II, 1° Sem. 38 



