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quindi : 



(5) Xo f ì£ d8 + 2 Qo xAu^d<f . 



La (4) si può dunque scrivere : 



|M = 2 , o Xo j\ M ^ _ jV - x o) |J = ^ jgj^ £*r+ 



+J^2(^X- ?0 X„)^S. 



« 3. Trasportiamo il punto ft, ^) parallelamente all'asse # nel- 

 l'altro {x x -f- </i , e introduciamo il simbolo J per indicare le varia- 

 zioni che ne seguono nelle diverse funzioni, avremo : 



Poiché («! , yi , Si) non è mai su e, sarà evidentemente : 



~ ^ emulimi v -v r^i 1 *^ v „ n«i 



« Prima di passare al limite per il secondo integrale del secondo mem- 

 bro della (6) facciamo l'ipotesi che le funzioni gX, gY, gZ oltre a 

 soddisfare alla condizione di essere integrabili lungo qua- 

 lunque segmento rettilineo di S, sufficiente per l'esistenza delle de- 

 rivate prime di M, siano tali che gli integrali: 



g x- eo x 0 r y-goYo r%z -e* z* dr 



Jo Jo 

 si mantengono determinati e finiti lungo ogni raggio vettore 

 uscente da (x x , y x , z x ). Allora dimostreremo che si ha: 



(7) 2™ 0 j^( ? X - g 0 X 0 ) dS =j^ X ~ 9o Xo) ^ rfS. 



« Osserviamo intanto che l' integrale del secondo membro è proprio. 

 E per verificarlo basterà prendere dS = r 2 da dr. 



~^X 



« Per dimostrare che la formola (7) è vera, calcoliamo ... ... - . Chia- 



d X\ 



mato r x il raggio vettore che parte dal punto (x\ -}- dx x , y x , sì), ed u\ la 

 funzione di r x analoga alla u x , abbiamo ; 



^ ~hu x ~òu\ ~ìUi x — x x — 4x x _ x — x x , 



~òx x Da?, ~~ 1x x ~ r x z r 3 

 x — x x — 4X\ x — x x \ Sa{(x — x x — JXx) 3 (x — Xx) \ 



. 3« / x — Xx — 4x x X. — X\ \ Sa / 

 ~2 \ rx 3 ~ r 3 ) 2 \ 



