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alla seconda i sistemi prodotti da una terna di forme di 2 a specie in corri- 

 spondenza birazionale allo stesso modo come il sistema (3, 4) del lavoro suac- 

 cennato \ r enne prodotto per forme proiettive. Anche a questi ultimi sistemi 

 conviene dare il nome di cremoniani ; ma, per distinguerli dai primi, noi 

 diremo gli uni di l a specie e gli altri di 2 a specie. Il lettore vedrà che il 

 sistema di formule che incontreremo importa simultaneamente lo studio di 

 entrambe le specie di sistemi. 



§ I. 



Due monoidi. — 1 sistemi di rette eremoniani di 2 a specie. 

 « 1. Siano 



(1) Xi <Pi + Z2 cp 2 -+- 7s (pz = 0 



(2) Xi <p'i + Xi Va + 7.3 ^3=0 



(3) Xi 0, + X2 0 2 + 73 e 3 = 0 



ove le <p, <p', 6 sono funzioni omogenee di tre parametri X x , A 2 , X 3 e 7i , 72 , 73 

 sono numeri arbitrarli variabili, le equazioni di tre reti omaloidiche di ele- 

 menti, e poniamo le equazioni 



z i ==<r$ i - + - T7]i .. : V) , Ji^0ià-H:i:^ 2') 

 con a) rji = g>! a { + <p 2 §i + (fz yi 



à) r(i= tp'iOc'i-h SP' 2 #'i-f- SPV/i (i== 1 , ... , 4) 



e (3') 01^ + 02^ + 03^ = 0 



ove ?i , t'i sono le coordinate di due punti arbitrarii, p x — 0 , ^ = 0 , — 0 

 equazioni di tre piani arbitrarii, «; $ le coordinate dei vertici di un trian- 

 golo arbitrario il cui piano non passi per , ed a'j j quelle dei vertici 

 di un triangolo analogo rispetto ad Per mezzo delle 1') e 3') la stella (£;) 

 è riferita cremonianamente alla stella di piani ove ì"i = {pqr)i 



(i ~- 1 , ... , 4) ; e lo stesso accade fra le stelle , per mezzo delle 

 2') e 3'). Se si suppone che le y> siano dell'ordine le cp' dell'ordine ri, 

 e le 6 dell'ordine m nelle X y , A 2 , A 3 ; e se, inoltre, si suppone che vi siano 

 a rs elementi % 1 :l 2 :X 3 fondamentali r? u per la rete 1), e fondamentali s pli 

 per la rete 3), noi avremo 



(4) (ft) 



M. = mn — 2 d rs rs , (r = 0 , 1 , ... , n — 1 ; s = 0 , 1 , ... , n — 1) (*) 

 ove, per brevità, abbiamo creduto introdurre il simbolo (S R per rappresen- 

 tare la relazione cremoniana reciproca che lega le stelle (&), (£"•) allo stesso 

 modo come il simbolo ~J\ rappresenta la semplice relazione lineare. 



(!) Cfr. Iung, Sulle trasformazioni lirazionali ecc. Bend. Ist. lonifo., a. 1886. Si 

 osservi che le nostre limitazioni pei valori di r, s non sono quelle del Iung; ma, mentre 

 tali limitazioni non infirmano il valore di M, sono necessarie per noi, specialmente pel 

 contenuto dei numeri 2 e 4. 



