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« Indicando con A^ l'invariante simultaneo del complesso lineare di coor- 

 dinate A ih e della retta di coordinate /tt tt (fi = h , a , b , .... , g , f ,n; 

 ik = 12 , ... , 34), si ha pel sistema lineare rappresentativo di la 

 equazione 



XX' A h — X (0 } n , - j- 6 2 qtr ~h 6 3 n >) {(f\ A a -!- y>' 2 A b + <p' 3 A c ) 

 — X' (6 1 pi +6 2 q^ -f- 0 3 r| ) A a . + y 2 A 6 . + y 3 A/) 



(11) -h (d, n 0 3 r s - ) (0J ^ 0 2 ^ + 0 3 rf/)0 A — Ò 



dove ora abbiamo trovato conveniente di porre 



(12) 0 A = Ai (f! (p'ì + A m y> 2 5p' 2 -f- A n <p 3 5P r 3 -h A e (p\ — A e > 9> 2 ^ -f- 



-f- A f (fi (f' z — A f t <p 3 tp' 2 + y 3 ^ — A^ (p' 3 <p x . 



§ n. 



I sistemi di rette cremoniani di l a specie ed altri enti. 

 » 4. Per mezzo delle a), a'), che possono pure essere sostituite dalle 



(fi Ita ~h (f 2 11$ ~h (fi = 0 

 (f'i Ua'-h (f 2 U$'-h (f'z Uy= 0 



ove u% = 2 6i Ui (ti — a , fi , y , a , p! , /) e le u% sono coordinate di piani, 

 il piano a è birazionalmente riferito al piano a', e corrispondentemente ad 

 ogni sistema di valori dei parametri A 1 :A 2 :A 3 le a), a') dànno le coordi- 

 nate di due punti corrispondenti. Indicando dunque con Hy. )V il corrispondente 

 sistema di rette si ha che le formule di rappresentazione delle sue rette sono 



(13) p'in == l ih (f X (f\ + mtk f/2 <p'z H- <p 3 <f'z + e in (f x y>' 2 — 9>2 <p\ 



4- fm <fz <f'$ — fot <ps <f \ + gui <fz v'i — g'ik <P\ q'z 



{ik = 12 , ... , 34) 



ed il sistema lineare rappresentativo corrispondente è 

 (12') © A = 0 



« Siccome le (f sono del grado » e si annullano al grado r" negli ele- 

 menti a" r rr s rr e le (f sono del grado ri e si annullano al grado s" negli 

 stessi elementi, così le (12) saranno del grado n -1 ri e si annulleranno al 

 grado r" -+- s" in a'Vv- Le curve (12') avranno dunque a comune, ulterior- 

 mente e a due a due, altri punti in numero di 



(n -h ri) 2 — 2a" r r, s r, (r" -+- s") 2 = 

 = 2 {uri — 2a" r ,, s „ r" s")+ri — 2a" r „ s „ r" % + ri 2 — 2a" r „ s „s"* — 2(P+1) 

 per essere : ri — 2a" r rr s rr r" 2 == ri 2 — 2a" r rr s rr s" = 1 . 



« Questo numero rappresenta perciò il gradro della rigata comune ad 

 Hy.^ e ad un complesso lineare arbitrario. Osservando, col tagliare e , a' per 

 mezzo di un piano arbitrario n (First, 1. c.) che =P , se ne cava v=P-f-2, 

 poiché 2 (P-f-1) è la somma dell'ordine e della classe del sistema; e ciò 

 conduce al risultato, notissimo del resto per altra via, che una corrispondenza 

 cremoniana di grado P fra due piani sovrapposti ha P •+ 2 punti uniti. 



