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§ IH. 



Due altre classi di superfìcie omaloidi. 

 Si mette in evidenza qualche caso speciale. 



« 7. Se, indicando con -Oi , e t (i -_ 1 , ... , 6) due sestuple qualunque di 

 quantità, noi poniamo : 



= E» 0 = 1,2,3; ì + 1 • == 1 per » = 3 ed 



B^H, A, B, ...,F',N quando r = h , a ,b , ... , f , n) 



(19) 



r. . <y /Vi 



'24 '34 



e poi nelle formule (22) del nostro lavoro citato « Sopra un sistema di rette 

 (3, 4) » poniamo, al posto delle p ik una volta le espressioni (10) ed un'altra 

 le (13), noi otteniamo le formule di rappresentazione piana di una doppia 

 classe di superfìcie omaloidi che, con linguaggio della geometria a più va- 

 riabili, possono essere chiamate proiezioni, sul nostro spazio, dei sistemi di 

 rette considerati nei paragrafi precedenti. Indicando con z% le coordinate di 

 un punto di una superficie della l a classe, e con z'i quelle di un punto 

 della corrispondente superficie nella seconda classe, in grazia delle (19) e delle 

 supposizioni fatte, noi abbiamo : 



(20) Zi = XX' Hi — X <D' (<p\ Ai + <p' 2 Bi -f- <p' 3 Ci) 



— T<I>(<p l A' l ^cp 2 B' i + ( p 3 C' i )-h<I><l>' z't (*=1, ... , 4) 



(21) z'i^LiCf^', -+- M ; ; (f % y' 2 -4- (p 3 (/' 3 -j- Bj (p' 2 — E',- cp 2 <p\ -f- 



+ Ti y 2 y' 3 — P'i y 3 y/ 2 + Gtì y 3 y/ — G'i g> ! 9>' 3 (t = 1, ... , 4) 

 ed i sistemi lineari rappresentativi corrispondenti sono : 



(22) XX'^h — X<P'($p'i«a + y' 2 w B -+- <f' 3 u c ) — X' 4>(<p l Ufj -\ c/ 2 u B ' ~h (f 3 u c -) -j- 



-+- k,, = 0 



(23) U 2 r = U-l (fi (f \ + «M ^2 ^2 H- ^3 <p'3 4- 2«E 9>1 9>' 2 ?< E ' ^2 ^'l 



-f- W F y 2 y' 3 llyf (f 3 (f/' 2 -|- W G 9>3 y'i — ^0' <£l <f'3 = 0 



essendo Ui'.v^'.Uz'.u^ le coordinate del piano di una sezione. 



« La forma delle (22) e (23) mostra chiaramente che i sistemi di curve 

 da esse rappresentati sono ordinatamente contenuti nei sistemi (11) e (12'); 

 e che perciò, finché le S t , ^ sono assolutamente arbitrarie, le (20) rappre- 

 sentano una superfìcie dell'ordine fi -+- v , e le (21) una superficie dell'ordine 

 2(P+1). Ma se le #i sono i valori che prendono le p iH , o le p' lk , date 

 dalle (10), o dalle (13), per un sistema di valori dei parametri % x : l 2 : A 3 , 

 allora le (20) rappresenteranno una superfìcie dell'ordine (jl-+-v — 1 , o del- 

 l'ordine 2P + 1.' Infatti, in una forma più concisa, le (20) e (21) possono 

 essere scritte così : 



Ùp 

 Pìi 



= 0 



#3 



P3t 



= 0 



