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« Cosicché lo studio di infinite curve di genere sufficientemente elevato 

 si può ridurre allo studio delle curve normali di un S R di ordine multiplo 

 della dimensione dello spazio in cui sono immerse. 



« In altra Nota che già è pronta mostrerò come ciò permette di studiare 

 molte famiglie di curve singolari di cui le curve iperellittiche costituireb- 

 bero la prima famiglia. 



« Non vi è quasi bisogno di far notare come i teoremi sulle curve agg. 

 minime potrebbero avere la loro applicazione e il loro interesse anche nella 

 teoria delle funzioni razionali esistenti sulle sup. di Riemann, che rappresen- 

 tano gli enti algebrici di quel genere assegnato. 



§ 1. — Serie canonica relativa alle curve C 91-3 "". 



« Consideriamo sulla curva G p m di ordine m e genere p, la serie lineare 



completa determinata dalle curve agg. di ordine m — 3 — a, per a > 0. 



T a- j- o , , . . j (m— 3 — a)(m — a) 

 « Le curve agg. di ordine m — 3 — a sono determinate da - — — 



a 



costanti, debbono avere nei punti s-upli della curva G p m dei punti (s — l)-upli, 

 inoltre nessuna di esse può comprendere la curva C/\ quindi la dimensione 

 della serie lineare completa determinata da queste curve sulla G p m è eguale 

 alla dimensione del sistema delle curve stesse ed è 



(m — 3 — a) (m — a) s (s — 1 ) 

 R> 2 2 ~ 2~ : 



sussisterebbe il segno eguale se i passaggi delle curve agg. per i punti mul- 

 tipli della curva data fossero tutti indipendenti linearmente. 



« Supponiamo che fra le -2- L -z — condizioni lineari cui debbono sod- 



u 



disfare le C m-3-a agg., q siano linearmente dipendenti dalle rimanenti : in- 

 troducendo il valore di p, si ha 



«(«-+- 3) 



E-=p — 1 



ma 



-] 



2 



E siccome ogni curva C m_3 - a agg. sega la curva C p m fuori dei punti mul- 

 tipli ancora in 



N = 2p — 2 — ma 

 punti, ne risulta che il sistema delle G m ~' i ~ a agg. determina sopra la curva G p m 

 una serie (serie canonica relativa alle C m-3_a ) 



f)-i-[_ma — J+p 



9 2p—2— ma. 



lineare completa. La quale è certamente speciale, perchè ogni suo gruppo 

 insieme ad un gruppo determinato su G p m da una qualunque C a di ordine a 

 del piano costituisce un gruppo della serie canonica segata su G p m dalle curve 

 agg. di ordine m — 3. 



