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« La serie residua di questa serie rispetto alle curve agg. di ordine m — 3 

 è pel teorema di Riemann e Roch una serie di ordine ma e di dimensione 



R' = ma — jo + H-R 



ovvero 



Li 



e quindi deriva che la serie segata dal sistema lineare formato da tutte le 

 curve C a di ordine a del piano è una serie lineare g ma * contenuta nella 



0(0+3) Q(Q+3) 



serie completa g m% 2 . Viceversa se la serie g m ^ segata dalle curve C a 



P+ 



del piano è speciale e contenuta nella serie completa g ma 2 la serie li- 

 neare completa residua di questa è di dimensione R, e quindi è pure R la 

 dimensione delle curve agg. di ord. m — 3 — a, e perciò fra le condizioni lineari, 

 imposte a queste curve dai passaggi per i punti multipli della C p m , q sono 

 dipendenti linearmente dalle rimanenti. E quindi : 



« La condizione necessaria e sufficiente perchè le curve C a di ordine 

 a del piano seghino sopra la curva G p m una serie speciale contenuta in 



a(a-<-3) 

 P~* 



una serie g m% 2 lineare completa, ovvero perchè fra le condizioni lineari 

 imposte alle curve agg. C m-3_a dai passaggi per i punti multipli di G p m , q 

 siano conseguenza delle riw.anenti, è che la curva G p m sia proiezione di 

 una curva speciale normale di ordine ma e dello stesso genere di un S ata+3). 



« 0 altrimenti : 



« Se fra le condizioni lineari imposte alle curve agg. C TO-3-a della 

 G p m , q sono conseguenza delle rimanenti, la curva G p m è proiezione piana 

 di una curva speciale di ma mo ordine e dello stesso genere contenuta in 

 un S o(o+3) e normale per questo spazio. 



« Per a === 1 si ha in particolare : Se fra le condizioni lineari imposte 

 alle curve agg. di ord. m — 4 dai passaggi per i punti multipli di G p m , q sono 

 conseguenza delle rimanenti, la curva G p m è proiezione piana di una curva 

 dello stesso ordine e dello stesso genere di un S P+2 ; il cui reciproco è vero. 



§ 2. — Limiti del numero q. 



« Fra i punti d' intersezione variabili di una C m-3-a agg. con la curva G p m 

 il numero di quelli che sono conseguenza dei rimanenti è 



a (a + 3) 



N — R — J9 — 1 



2 



« La serie completa segata dalle curve C'" 1-3-01 essendo speciale, deve dare 



N — R >'E ; 



