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Però la suddetta condizione mentre è sufficiente, non è necessaria poiché 



x. j c 1, a ( a + 3 ) j. 1.1. , \ a(oH-3) 



anche quando fosse p <. w« ^— , potrebbe essere p-\-Qj>ma — 



Li Li 



e 2j9 — 2 — m« > 0, e quindi potrebbero esistere cuiTe agg. di ord. m — 3 — a. 



« Ma in tal caso è da notare che : se esistono curve G m ~ 3 ~ a agg., la serie 

 segata dalle curve C a del piano deve essere necessariamente spicciale e par- 

 ziale ; mentre se non esistono le C m ~ 3-a , la detta serie non sarà speciale e 

 quindi o è essa stessa completa (quando ha luogo il segno eguale) oppure è 

 contenuta nella serie completa di maggiore dimensione ma — p non speciale, 

 e quindi : 



a (a -f- 3) 



« Le curve G p m per le quali p j< ma — e non hanno curve 



u 



aggiunte C m_3_a sono proiezioni di curve normali dell'ordine ma e genere p 

 di uno Sma-p (la curva è quindi non speciale). 



« E specialmente importante, per le applicazioni che ne avremo a fare 

 in seguito, il seguente teorema, che si ricava dal penultimo teorema enunciato : 



« Se una curva G p m di ordine m e di genere p è obbligata a non 



avere curve agg. di ordine m — 3 — (a -f- 1), essa deve necessariamente 



soddisfare alla seguente condizione : 



. , ^ (a -hi) (a + 4) 

 p <. m {a + 1) — '-r ; 



u 



chè se avesse luogo il segno le curve C m-3-c * +1) esisterebbero certamente : 

 il reciproco di questo teorema non è vero. 



« Riunendo il primo e ultimo teorema si ha : 



« Tutte le curve per le quali si ha 



a (ah- 3) ^ . , . ( a-hl)(a + é) 

 ma — — ^— ' <Cp <. m (a + 1) — f 



Li Li 



posseggono certamente per curve aggiunte minime quelle di ordine m — 3 — a. 



« Come controllo dei precedenti teoremi si può anche notare che essi si 

 possono facilmente tradurre negli altri due seguenti riguardanti il numero 

 dei punti doppi della G p m : 



« Se il numero S dei punti doppi di una curva G p m di ord. m e ge- 



, . (m — a — 1) (m — a — 2) . 



nere p è minore di -r la curva certamente possiede 



Li 



curve agg. di ord. m — 3 — a. 



Allorquando si avvera la condizione p >• mcc > ^ a se " e lineare segata dalle 



curve G a del piano sulla curva C p m è certamente una serie speciale (parziale o completa) 

 e quindi per ogni gruppo di ara punti segato da una C* deve passare almeno una curva 

 agg. di ord. m — 3, e poiché la curva C a in generale non passa per i punti multipli di 

 G p m , la curva C m-S deve segare la C* negli «m punti che essa ha comuni con C p m che 

 sono — 3), e quindi deve spezzarsi in una curva agg. di ordine m — 3 — « e nella C a . 



