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e quindi appartiene ad un sistema lineare di dimensione minima di curve 

 del detto ordine, che resulta da esso individuato; un tal sistema lineare deve 

 pure esser trasformato in se stesso dalle trasformazioni del gruppo, giacché 

 altrimenti il corpo di curve prima costruito risulterebbe comune ad esso e 

 ad un suo trasformato e quindi appartenente ad un sistema lineare (comune 

 ai due) di dimensione minore. In questo modo partendo da un sistema oo fc 

 (k >i 1) di curve algebriche, si può ottenere un sistema lineare di curve (di 

 genere maggiore od uguale del primitivo) trasformato in sé stesso dalle tra- 

 sformazioni cremoniane d'un gruppo continuo oo". Un tal sistema appartiene 

 ad un sistema determinato dai suoi punti base (colle date molteplicità) che 

 è pure trasformato in se stesso ; infatti soltanto dalle molteplicità della curva 

 generica di un sistema lineare nei punti fondamentali di questo e dal suo 

 ordine, dipendono l'ordine e la molteplicità della curva corrispondente in una 

 trasformazione cremoniana. 



« 3. Il sistema lineare delle curve d'ordine n — 3 aggiunte alla curva 

 generica d'ordine n d'un sistema lineare C, dicesi sistema aggiunto di C; 

 dal sistema aggiunto si possono forse staccare delle curve fisse (fondamentali 

 pel dato sistema) ed il sistema residuo dicesi aggiunto puro di quello dato: 

 il sig. Castelnuovo ( J ) ha stabilito che quando un sistema lineare viene bira- 

 zionalmente trasformato in un altro, l'aggiunto puro del primo si trasforma 

 nell'aggiunto puro del secondo. 



« Dato un gruppo continuo di trasformazioni cremoniane si costruisca 

 nel piano (come ho indicato) un sistema lineare, di genere p arbitrariamente 

 grande, trasformato in se stesso ; anche il sistema aggiunto puro di esso (che 

 è oo^- 1 ) dovrà essere un corpo per il gruppo. Si consideri poi l'aggiunto puro 

 di questo sistema aggiunto e così via ; gli ordini dei successivi sistemi vanno 

 decrescendo e quindi il procedimento deve avere un termine ; d'altra parte 

 ciò non può avvenire, finché non si giunga ad un sistema di curve razionali 

 od ellittiche, poiché una curva di genere > 1 lia almeno un fascio di curve 

 aggiunte. Si perviene così a trovare un sistema lineare ( oo 1 almeno) di curve 

 razionali o ellittiche trasformato in se da tutte le trasformazioni del gruppo. 



C 1 ) Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane (Acc. Torino M. 1891). 

 Il procedimento (qui brevemente esposto) con cui dato un sistema lineare trasformato in 

 se da una trasformazione birazionale si deduce un sistema di genere 0,1 pure trasformato 

 in se stesso, è stato usato dal sig. Castelnuovo (Acc. Lincei 1892). Lo enunciò nel 1885 il 

 sig. S. Kantor (Comptes rendus) chiamandolo : Principio della diminuzione delle funzioni <p, 

 senza però dimostrare il teorema citato sulla invariantività del sistema aggiunto che non è 

 affatto incluso nel noto teorema del sig. Noether sull'invariantività (rispetto a trasforma- 



p-i 



zioni biunivoche della curva e non del piano) della serie g segata sopra una curva d'or- 



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dine n e genere p dalle sue aggiunte d'ordine n — 3 (cfr. anche Castelnuovo, Acc. Tor. 

 M. c, pag. 6). 



