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« 4. Un sistema lineare di curve ellittiche può sempre trasformarsi bira- 

 zionalmente in uno dei seguenti d'ordine minimo ('): 



« a) sistema lineare di quartiche con due punti base doppi ; 

 « b) sistema lineare di cubiche; 



« c) fascio di curve d'ordine 3r con 9 punti base rpli. 



« Se un sistema a) viene trasformato in se dalle trasformazioni cremo- 

 niane d'un gruppo continuo, anche il sistema delle coniche per i due punti 

 base (che è l'unico la cui curva generica incontra in 4 punti mobili la curva 

 generica del sistema) deve essere trasformato in se stesso ; le trasformazioni 

 che mutano in se questo sistema di coniche (contenente la rete delle rette 

 del piano) sono quadratiche e corrispondono alle trasformazioni proiettive in 

 se d'una quadrica o d'un cono quadrico; perciò sono oo 6 o oo 1 secondochè i 

 punti base del sistema sono distinti o infinitamente vicini; nel loro gruppo 

 è contenuto un sottogruppo di co 4 omografie aventi i due punti base uniti ( 2 ). 



« Se un sistema b) senza punti base o con un punto base è trasformato 

 in se dalle trasformazioni cremoniane d'un gruppo continuo, queste trasfor- 

 mazioni sono omografie poiché ogni altra trasformazione eleva l'ordine della 

 curva generica del sistema. 



« Dico che accade egualmente per ogni altro sistema b) o per un sistema e). 



« Si possono trattare insieme i due casi dicendo che il sistema trasfor- 

 mato in se è un sistema lineare di curve d'ordine 3r (r > 1) con punti base 

 rpli in numero di due almeno. Consideriamo le coniche per due punti base 

 (rpli) del sistema e le curve trasformate nella trasformazione generica n del 

 gruppo: sia n l'ordine di queste curve ed h x h z . . . le moltiplicità che esse 

 hanno nei punti base del sistema, QiQi . . . quelle che eventualmente esse 

 possono avere in altri punti fissi fuori dei detti punti base. Le curve d'ordine 

 il d'un tal sistema segano (come le coniche di cui sono le trasformate) in 4r 

 punti mobili le curve d'ordine 3r del sistema primitivo; avremo dunque: 



drn = r2hi -\- Ar 



cioè : 



3n = 2hi + 4. 



« Siccome poi le curve del sistema sono razionali deve aversi: 

 n (n _ 3) — Mi (hi — 1) — 2 Qh ( Qh — 1) = — 2 , 

 ossia (tenendo conto della relazione precedente) : 



tf — Shf — ZQu ( Qh —1) = 2. 



( J ) Cfr. Giaccia (Circ. di Palermo, t. 1887). Il caso del fascio era stato anteriormente 

 trattato dal sig. Bertini (Ann. di Mat. 3. 9). 



( 2 ) Per la letteratura relativa alle trasformazioni proiettive d'una quadrica in se, cfr. 

 Clebscli-Lindemann 2° Bd. s. 356 e segg. 



