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« D'altra parte le curve del sistema s'incontrano (due a due) in due punti 

 variabili, quindi: 



n z — 2h\ — 2Q* h = 2; 



si deduce dunque: 



2&h = 0, 



e perciò tutte le quantità g h sono nulle, cioè il sistema oo 3 trasformato di 

 quello delle coniche per due punti base rpli del primitivo sistema C, non ha 

 punti base fuori di quelli di C. Ora un tal sistema co 3 (come quello di cui 

 è il trasformato) è determinato dai punti base, e poiché le quantità intere hi 

 non mutano variando la trasformazione scelta nel gruppo continuo, si con- 

 clude che il sistema co 3 è fisso; siccome poi al gruppo appartiene la trasfor- 

 mazione identica (per la definizione di gruppo), così si deduce che il sistema 

 delle coniche per due punti base di C è trasformato in se da tutte le trasfor- 

 mazioni del gruppo. Queste trasformazioni sono dunque (come abbiam notato) 

 quadratiche ed in particolare omografiche; ma le trasformazioni quadratiche 

 che mutano in se il sistema delle coniche elevano il grado delle curve d'or- 

 dine 3r aventi solo due punti rpli in due punti fondamentali, perciò il 

 gruppo non può esser composto che delle omografie contenute nel detto gruppo 

 di trasformazioni. 



« Così dall'esistenza d'un sistema lineare di curve ellittiche mutato in 

 se dalle trasformazioni d'un gruppo continuo, si trae che le trasformazioni sono 

 omografie (casi b), c) ), o trasformazioni quadratiche mutanti in se il sistema 

 delle coniche per due punti (caso a)). 



« 5. Dobbiamo ora esaminare il caso d'un gruppo continuo di trasforma- 

 zioni cremoniane che mutino in se un sistema lineare di curve razionali, il 

 quale sistema può sempre supporsi determinato dai punti base colle date mol- 

 teplicità (per un'osservazione del § 2). 



« Cominciamo dal mostrare che se il sistema è un fascio può sempre co- 

 struirsi un altro sistema più ampio di curve razionali pure trasformato in se 

 stesso. Basta per ciò trasformare birazionalmente il fascio in quello delle 

 rette per un punto 0 ( x ) ed allora il gruppo si muta in un gruppo di trasfor- 

 mi) Cfr. Noether (Math. Ann. Bd. III), 

 mazioni di Jonquières d'un certo ordine n in cui alle rette corrispondono le 

 curve (d'ordine n) d'una rete omoloidica col punto base 0 (n — l)plo, quindi 

 le curve d'ordine n con 0 (n — l)plo aventi come punti semplici i punti 

 base (fuori di 0) comuni alle dette reti omoloidiche, formano un corpo per il 

 gruppo. 



« Ciò posto un sistema lineare di curve razionali (di dimensione ^> 1) 

 determinato dai punti base può sempre trasformarsi in uno dei seguenti d'or- 

 dine minimo ( ( ) : 



(*) Cfr. Guccia (Circ. di Palermo, t. I, 1886). La riduzione con trasformazioni qua- 

 dratiche della rete era stata anteriormente trattata dal sig. Noether (Math. Ann. Bd. V). 



