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« a) rete delle rette del piano; 



« b) sistema oo 5 delle coniche del piano; 



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« c) sistema lineare <x m+l delle curve d'ordine — ~ — con un punto 



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base (7r)P i0 ea " un punto base semplice a distanza finita; 



« <i) sistema lineane oo m+1 delle curve d'ordine — - — (0 < n < m) 

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— ^ 1 jplo con — 1 tangenti fisse comuni a tutte 



le curve. 



« Un sistema a) o b) non può ammettere altre trasformazioni cremoniane 

 in se, che trasformazioni omografiche. 



« Se un sistema c) o d) è trasformato in se stesso dalle trasformazioni 

 cremoniane d'un gruppo continuo, anche il fascio delle rette per un punto 

 base è trasformato in se stesso, giacché è immerso nel dato sistema e con 

 un semplice calcolo si vede che non vi sono nel sistema altri fasci di curve 

 seganti quella generica in egual numero di punti mobili. Dunque nel caso c) 

 si hanno due fasci uniti di raggi, ossia il gruppo è costituito da trasforma- 

 zioni quadratiche che mutano in se il sistema delle coniche pei due punti base 

 (distinti) (cfr. § 3). 



« Resta che esaminiamo il caso d'un sistema d) trasformato in se dalle 

 trasformazioni cremoniane d'un gruppo continuo. 



« Il fascio delle rette per il punto multiplo 0 (trasformato in se) pre- 

 senta due condizioni ad una curva generica del sistema che debba contenerlo, 

 giacché basta per ciò costringere una curva del sistema ad avere due punti 

 sopra una retta generica del fascio: il sistema residuo oo™- 1 (ottenuto stac- 

 cando dal sistema d) il detto fascio) deve essere pure mutato in se dalle 

 trasformazioni del gruppo. Staccando successivamente il medesimo fascio da 

 questo sistema residuo oo™- 1 e così via, perveniamo ad un sistema di curve 

 d'ordine n col punto 0 (n — l)plo e le n — 1 tangenti fisse per 0, il quale 

 è pure mutato in se dalle trasformazioni del gruppo. Qui l'operazione ha un 

 termine poiché il sistema residuo del fascio rispetto al detto sistema di curve 

 d'ordine n, è riducibile. 



« Il sistema stesso è co M+1 , rappresentativo del cono razionale normale 

 d'ordine n dello spazio ad n-\-l dimensioni (S„ +1 ): un tale cono ammette 

 oo" +5 trasformazioni proiettive in se, giacché per una di esse può scegliersi 

 ad arbitrio un iperpiano (S n ) unito, una proiettività binaria a cui corrisponde 

 un'omografia di S n che muta in se la sezione (curva razionale normale) del 

 cono, ed infine il rimanente invariante assoluto dell'omografia. Corrisponden- 

 temente si hanno nel piano co"-*- 5 trasformazioni di Jonquières (formanti gruppo) 

 in ciascuna delle quali corrispondono alle rette le curve d'ordine n d'una 



