~ 473 — 



rete omoloidica con 0 (n — l)plo le tangenti fisse in 0, ed altri n — 1 punti 

 base semplici. 



« Dunque se un sistema di curve razionali è mutato in se dalle tra- 

 sformazioni d'un gruppo continuo, queste sono omografie (casi a) o b) ) oppure 

 mutano in se il sistema delle coniche per due punti (caso e) ), o il sistema 

 oo" +1 delle curve d'ordine n con un punto (n — l)plo e le tangenti fisse in 

 esso (caso d) ). 



« 6. Riassumendo le conclusioni dei §§ 4 e 5, e pensando a quella del 

 § 3, otteniamo appunto il resultato enunciato nel § 1, cioè riconosciamo l'esi- 

 stenza di 3 tipi di gruppi di trasformazioni cremoniane : 

 « 1° gruppo co 8 delle omografie; 



« 2° gruppo go 6 delle trasformazioni quadratiche che mutano in se 

 due fasci di raggi ; 



« 3° gruppo oo n+5 delle trasformazioni di Jonquières (d'ordine n) che 

 mutano in se il sistema lineare oo n+1 delle curve d'ordine n con un punto 

 (n — l)plo e le n — 1 tangenti fisse. 



« Ogni gruppo di trasformazioni cremoniane appartiene come sottogruppo 

 ad uno di questi 3 gruppi o ad un suo trasformato. I 3 gruppi 1°, 2°, e 3° 

 sono irreducibili fra loro (non si può dir lo stesso per i loro sottogruppi); 

 ciò si riconosce facilmente rammentando che il solo gruppo co 6 d'omografie 

 è quello delle omografie con un punto unito, e che non esistono gruppi oo 7 

 d'omografie piane ('). 



« Il resultato stabilito può anche enunciarsi così : 



« La geometria nel piano che ha come gruppo principale oli trasfor- 

 zioni( 2 ) un gruppo continuo di trasformazioni cremoniane (dipendente da un 

 numero finito di parametri) , coincide colla geometria proiettiva nel piano 

 o sulla rigata quadrica ( 3 ) o sul cono razionale normale dello spazio ad 

 n -f- 1 dimensioni, o con un caso particolare di una di queste tre geometrie » . 



Matematica. — Sopra un gruppo continuo di trasformazioni 

 ài Jonquières nel piano. Nota di Federico Enriques, presentata 

 dal Socio Cremona. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



(1) Cfr. Lie, op. c. Bd. I, s. 569. 



( 2 ) Per il concetto di gruppo principale di trasformazioni, cfr. il Programma del 

 sig. Klein (Università di Erlangen 1872) tradotto in italiano dal sig. Fano (Ann. di Mai 

 s. 2 a , t. XVII). 



( 3 ) Dicendo rigata quadrica intendo di escludere le trasformazioni proiettive di 2 a specie 

 che mutano le generatrici d'un sistema della quadrica in quelle dell'altro, aggiungendo 

 (come corpo) un sistema di generatrici al gruppo totalè delle trasformazioni proiettive della 

 quadrica in sè (che non è continuo). 



