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parziale, cioè contenuta in un'altra di dimensione maggiore, bisognerebbe 

 conchiudere che il punto P è un punto speciale della curva G p m , pel quale 

 passano tutte le curve agg. G m - 3 ~ a che passano per G„ , e quindi per ciascun 

 gruppo della g n r ; perchè se una sola C™- 3 "* non ci passasse la serie g/ -h P 

 sarebbe completa. 



§ 3. 



* Questi due teoremi precedenti ci conducono direttamente al teorema 

 di Riemann e Roch esteso alle curve agg. di ord. m — 3 — a . 



« Si abbia un gruppo G„ di una g n r segata da curve G m ~ 3 - C ' agg., e 

 supponiamo che per esso passino r' curve C OT - 3_a . Se al gruppo G„ aggiun- 

 giamo un punto fìsso Pi , che non stia su tutte le C ,n - 3_a di G„ , la serie 

 completa determinata dal gruppo G„Pi avrà quel punto Pi per punto fìsso 

 e sarà di dimensione^ r ; e se r' > 0 per G }! Pi passeranno co'"- 1 curve 

 C m - 3 - a . Aggiungendo al gruppo G„Pi un altro punto P 2 pel quale non pas- 

 sino tutte le curve C m - 3 ~ a che passano per G„ Pi , la serie completa deter- 

 minata da G„PiP 2 sarà di dimensione r coi punti fissi Pi P 2 , cioè sarà 

 una ■ Così seguitando ad aggiungere con la stessa condizione i punti 

 P 3 , P 4 . . ¥ r r , per il gruppo G„ Pi P 2 . . Pr' passerà una sola G m - 3 ~ a e questo 

 gruppo determina una serie completa g r n+r r , di dimensione r e di ordine 

 n -T- r' . -;'.«f Ì! 



« Scegliendo ancora un punto fisso ¥ r > +l fuori di questi punti, pel gruppo 

 G„ Pi P 2 - Pr' Pr'+i non passerà alcuna G' n - 3 - a , dunque per la g r n+r > , deve 

 aversi 



, «(« -f- 3) 

 n-hr — r — 1 — ^ — Q 



ovvero 



r' < (p — l) — (n-r)—\^-^ ^ + ?J , 



r > (n + r<) — (p — 1) -f- Q*^ 2 ' ^ + 



« Quindi si può enunciare il teorema di Riemann e Roch esteso alle 

 curve C' n_3_a nelle due seguenti forme: 



« Se g n r è una serie completa segata da curve C™- 3 -*, per ogni suo 



r a(a+3) -i 



gruppo passeranno non più di ce 2 J curve aggiunte di ord. 



m — 3 — a. 



« Se per un gruppo G n di una G p m passano co r ' curve agg. di ord. 

 m — 3 — a, esso appartiene ad una serie completa la cui dimensione non 

 può essere minore di 



\. fa (a -+- 3) ~| 

 (% + /) _ (j3 _ 1 ) + |^_L_ / + p J. 



