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Vogliamo ora indagare se e quando in questo teorema può aver luogo il 

 segno eguale. 



« Se g n r , g»r r ' sono due serie residue rispetto alla g N n segata da tutte 

 le curve agg. C m ~ 3-a , si deve avere contemporaneamente 



r>(n + r')~ (p — 1)+ -^-g 



/> (rf + V) - (p - 1) + ^ g(g ^" 3) + <T] • 

 Sommando, e tenendo conto che n~-ri = 2p — 2 — ma, si trova che deve essere 



o < ~ (m — a — 3) 



e questa relazione è perfettamente verificata; dunque: 



« II segno eguale nel teorema precedente ha luogo solamente quando 

 q è massimo. 



« In particolare, per le curve agg. di ord. m — 3 ha luogo sempre 

 il segno eguale. 



§ 4. 



« Limitiamoci in questo § al caso in cui q abbia il massimo valore. 



Essendo g n r , g n < r ' due serie residue si hanno le relazioni 



r rx / -, \ a (a -j- 3) 

 r = (n + r') — (p — 1) + — - ; + q 



t i i\ , f \ a (« + 3) 

 r — \P — 1) + in — r) q 



n -+- ri = 2p — 2 — ma. 

 Aggiungendo alla differenza delle prime due relazioni la terza si ha 



2 (r — ri) — n — ri. 



« Dunque : 



« iVeZ caso in cui, fra le condizioni lineari imposte alle curve C™ -3-01 

 dai passaggi per i punti multipli di G p m , il numero di quelli che dipendono 

 linearmente dai rimanenti è massimo, si ha fra gli ordini e le dimen- 

 sioni delle serie residue rispetto alla serie canonica determinata dalle curve 

 Qm-3-a la stessa relazione che esiste fra gli ordini e le dimensioni delle 

 serie residue rispetto alla serie canonica segata dalle curve aggiunte di 

 ordine m — 3. 



« Venendo ora al reciproco del teorema del § 1 dimostreremo che : 

 « Allorquando n — r <l E la serie g n r esistente su G p m è segata cer- 

 tamente da un sistema di curve agg. di ordine m — 3 — a. 



« È evidente che il teorema è vero se la serie ha la dimensione zero, 



