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è semplice ( 1 ). Il 2° gruppo, che può studiarsi come quello delle trasfor- 

 mazioni proiettive della quadrica in sè, opera sulle generatrici di ciascun si- 

 stema (sitema <i' imprimitività) permutandole come il gruppo totale delle 

 proiettività binarie : quindi esso contiene due (e due soli) sottogruppi ecce- 

 zionali (oo 3 ) di omografie biassiali. 



« Invece il nostro 3° gruppo, per quanto io so, non è ancora stato stu- 

 diato in generale, ed io mi propongo di assegnarne qui la composizione. Ciò 

 darà luogo ad alcune osservazioni sulla geometria del piano che ha il detto 

 gruppo principale di trasformazioni. 



« 2. Ho già notato (nella prec. Nota) che il gruppo 3° corrisponde al 

 gruppo K delle trasformazioni proiettive in sè del cono razionale normale 

 (d'ordine n) di S„+i (quando il detto cono sia rappresentato sul piano), ed è 

 sotto questo aspetto che prenderò a considerarlo. 



a Una trasformazione generica del gruppo K si ottiene assumendo ad 

 arbitrio l' iperpiano unito opposto al vertice del cono, in esso una fra le co 3 

 proiettività che mutano in sè la curva sezione (ossia prendendo ad arbitrio 

 una proiettività binaria che scambi fra loro le generatrici, come elementi 

 d'un sistema d' imprimitività), ed infine fissando pure arbitrariamente il rima- 

 nente invariante assoluto dell' omografia : così appunto ho dedotto che il 

 gruppo K è oo n+5 . 



« Poiché esso opera sulle generatrici come il gruppo totale delle proiet- 

 tività binarie, e questo è semplice, un sottogruppo eccezionale oo r di K opera 

 sulle dette generatrici come il detto gruppo totale o come l' identità ; nel 

 1° caso contiene oo r - 3 omologie, nel 2° è tutto costituito di omologie. 



« 3. Ora le oo n + 2 omologia col centro nel vertice 0 del cono formano 

 effettivamente un sottogruppo eccezionale in K ; questo per la considerazione 

 prec. non può esser contenuto in alcun sottogruppo eccezionale di K, diverso 

 da K, il quale avrebbe una dimensione minore di n -h 5 (— n + 2,-f- 3). 



« 4. In questo gruppo oo n+2 delle omologie di centro 0 è contenuto come 

 sottogruppo eccezionale il sistema oo n+1 delle omologie (speciali) il cui iper- 

 piano di punti uniti passa per 0 : questo è anche un sottogruppo eccezionale 

 in K, giacché appunto (secondo la definizione) ogni omografia di K trasforma 

 un'omologia speciale di centro 0 in un'altra analoga. Il gruppo co n+1 delle 

 omologie speciali è costituito di omologie due a due permutabili ( 2 ), poiché 

 sopra ogni retta per 0 (che è retta unita per tali omologie) sono permuta- 

 bili le proiettività paraboliche subordinate di quelle omologie (avendo gli 

 stessi punti uniti). 



(!) Dicesi composto un gruppo che contiene qualche sottogruppo (diverso da sè stesso 

 e dall'identità) trasformato in sè dalle trasformazioni del gruppo (o, come si dice, un sotto- 

 gruppo eccezionale), semplice nel caso opposto. Determinare la composizione d'un gruppo 

 significa determinarne i sottogruppi eccezionali. 



( 2 ) Cioè il cui prodotto gode la proprietà commutativa. 



