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« Si consideri un suo sottogruppo oo*" (r <0^ + 1) cne P uo ritenersi ge- 

 nerato da r sue omologie indipendenti (e del resto arbitrarie) n x tc 2 ... n r , 

 nel senso che una trasformazione del gruppo oo r può rappresentarsi col sim- 

 bolo 7i X H tc z Si ... 7i r Sr Gli iperpiani delle r omologie generatrici hanno co- 

 mune un Sn+x-r per 0, il quale appartiene agli oo r_1 iperpiani (luogo di punti 

 uniti) delle co r omologie speciali del gruppo. Ora nessuno spazio lineare 

 per 0 (di dimensione <C, n-hl) gode della proprietà invariantiva rispetto a 

 tutte le trasformazioni di K (sebbene goda di questa proprietà rispetto alle 

 omologie contenute in K), giacché ne seguirebbe l'esistenza di generatrici di 

 contatto del cono con iperpiani osculatori appartenenti al detto spazio, le quali 

 sarebbero unite per tutte le omografìe di K, mentre abbiam notato che il 

 gruppo K opera sulle generatrici del cono come il gruppo totale delle proiet- 

 tività binarie. Si deduce che nessun sottogruppo di quello oo n+1 delle omo- 

 logie speciali di centro 0 è contenuto eccezionalmente in K. 



« 5. Il sig. Lie ( 2 ) ha dimostrato che se entro un gruppo continuo vi 

 sono due sottogruppi eccezionali, essi hanno comune un sottogruppo eccezio- 

 nale oo 1 almeno, o sono costituiti di trasformazioni tali che ciascuna di quelle 

 d'un sottogruppo è permutabile con ciascuna di quelle dell'altro. Di qua si 

 trae anzitutto che un sottogruppo eccezionale di K diverso da quello <x> n + l delle 

 sue omologie speciali deve contenere quest' ultimo, giacché non vi sono in esso 

 sottogruppi eccezionali di K (§ 4), e d'altra parte non vi è nessuna omografìa 

 di S n+ i , diversa da una di quelle omologie, e permutabile con ciascuna di 

 esse. Inoltre se il sottogruppo di cui si suppone l'esistenza non è quello oo w+2 

 delle omologie considerato al § 3, per una osservazione del § 2, il sottogruppo 

 stesso deve essere oo n+4 (e non contenere altre omologie di K tranne quelle 

 speciali). In K non possono esistere due siffatti sottogruppi eccezionali poi- 

 ché avrebbero comune un sottogruppo eccezionale co" +3 ( 3 ). 



« 6. Dobbiamo ora riconoscere l'effettiva esistenza d'un sottogruppo ecce- 

 zionale oo n+i in K formato dalle omografìe (speciali) aventi un punto unito 

 infinitamente vicino al vertice 0 del cono. Questo sistema oo n+4 di omografie 

 speciali rimane evidentemente invariato trasformandolo colle omografie di K; 

 inoltre nel sistema comparisce insieme ad una omografia anche l' inversa ; 

 basta dunque mostrare che due omografie del sistema, cioè due omografie 



(!) Secondo Lie (op. c. Bel. I, S. 45) in un gruppo continuo oo r di trasformazioni vi 

 sono r trasformazioni infinitesimali linearmente indipendenti, generatrici di r gruppi oo 1 

 (che possono considerarsi come gruppi di potenze di una trasformazione in essi contenuta) 

 i quali generano per moltiplicazione l'intiero gruppo. Essendo poi n x n 2 ...n r due a due 

 permutabili, esse appartengono sempre ad un gruppo co 1 " (o più ristretto), poiché 



S, S„ S„ (, i„ t„ s ,-+-'l „ s 2"t-*2 _ 3 r +t r 



7TJ 1 7T 2 2 ... 7T r r . Tl 1 1 7T 2 2 ... 7T r r = 1t x 1 1 7T 2 2 2 ... 7T r r r . 



( 2 ) Op. c. Bd. I, S. 264. 



(3) Lie, op. c. Bd. I, S. 264. 



