— 535 — 



speciali di K, danno per prodotto un'omografìa del sistema (cioè speciale). 

 Dimostreremo questo fatto per induzione completa da n — 1 ad n : la pro- 

 prietà enunciata sussiste per il cono quadrico {n = 2) giacché le omografìe 

 con un punto unito infinitamente vicino al vertice entro il gruppo oo 7 di 

 tutte le trasformazioni proiettive del cono in sè, corrispondono per dualità ai 

 movimenti entro il gruppo totale delle omografìe che mutano in sè il cer- 

 chio all'infinito delle sfere (similitudini). 



« Ciò posto supponiamo dimostrata la proprietà per i coni di S„ . Proiet- 

 tando da un suo punto il cono di S n+l si ottiene quello di S„ , ed al gruppo 

 delle omografìe mutanti in sè il 1° cono che lasciano fermo il centro di 

 proiezione, corrisponde il gruppo delle omografìe che mutano in sè il 2° cono 

 lasciando ferma una sua generatrice : fra queste ultime per ipotesi formano 

 gruppo le omografìe speciali, quindi sul cono di S n +i due omografìe speciali 

 che hanno comune un punto unito sul cono (ed appartenenti al gruppo K 

 del cono) danno per prodotto un' omografìa speciale (di K). 



« Denotiamo col simbolo n (con accenti o apici) un' omografìa speciale 

 di K, con T una sua omologia speciale. Vi è una retta unita per n conte- 

 nente 0 su cui la n subordina un' omografìa parabolica, ed un' omografìa pa- 

 rabolica (collo stesso punto unito 0) subordina su di essa la T, quindi il 

 prodotto 7rT (o Tre o ttT' 1 ) è ancora una omografìa speciale di K. 



* Le omografìe speciali n x n 2 (di K) abbiano come unita una stessa genera- 

 trice del cono unito, a su di essa risp. i punti uniti A x A 2 (oltre ad 0) : si può fis- 

 sare una omologia T (di cui l' iperpiano sia un qualunque iperpiano per 0), 

 tale che il prodotto n x T abbia il punto unito A 2 ; allora abbiamo 



n 2 . (tt 1 T) = n 



ossia 



(7T 2 TTì) T — n 



e moltiplicando per T -1 



n 2 ti i — jtT -1 = TI. 



« Si vede così, intanto, che due omografie speciali di K con una stessa 

 generatrice unita del cono, danno per prodotto un' omografia speciale di K. 



« Sieno ora n l , n 2 due arbitrarie omografie speciali di K ; sia r x una 

 generatrice del cono unita per la l a , r 2 una generatrice unita della 2 a ; sia r 3 

 una generatrice unita dell' omografia Tt 2 n x . Le omografie speciali di K ope 

 rano sulle generatrici del cono come le co 3 proiettività binarie; possiamo 

 dunque costruire una omografìa speciale (ausiliaria) rì coi raggi uniti r ì , r 3 , 

 la quale muti in r 2 l'ulteriore raggio unito della n x . Allora (tenendo pre- 

 sente la legge di moltiplicazione dimostrata per le omografie speciali di K 

 con una generatrice unita comune) si ha 



tt 1 rì = rì' (l'aggio unito comune r x ) 



n 2 (tv 1 rì) = rì" (raggio unito comune r 2 ) 



(?r 2 7t 1 rì) rì- 1 = ti (raggio unito comune r 3 ) 



