— 536 — 



quindi 



7r 2 7i ! 7t c.d.d. 



« Così è dimostrato per induzione completa che le omografie speciali 

 di K formano un gruppo, e precisamente un sottogruppo eccezionale oo M+4 di K. 



« 7. Riassumendo i resultati dei precedenti §§ possiamo dire che il 

 gruppo oo n+s delle omografie mutanti in sè un cono d'ordine n di con- 

 tiene tre, e tre soli, sottogruppi eccezionali ; cioè quello oo" +4 delle omografie 

 speciali (con un punto unito infinitamente vicino al vertice 0), quello oo n+2 

 delle omologie di centro 0, e quello oo n+1 delle omologie speciali di cen- 

 tro 0 (e iperpiano per 0) due a due permutabili. 



u Interpretiamo questi risultati nel piano relativamente al gruppo (3°) 

 delle trasformazioni di Jonquières che mutano in sè il sistema di curve rap- 

 presentativo del cono. 



n Un' omografia generale trasformante in sè il cono di S„ +1 (cioè appar- 

 tenente a K) ha n H- 1 iperpiani uniti di cui uno (non passante per 0) sega 

 il cono secondo una curva non spezzata, e gli altri segano il cono secondo 

 le due generatrici unite (dove lo toccano più volte) : per un' omografia spe- 

 ciale di K l' iperpiano unito opposto ad 0 viene a passare per 0, e quindi 

 anche la sua sezione si compone delle due generatrici unite. Questa proprietà 

 si può interpretare nel piano come caratteristica pel sottogruppo eccezio- 

 nale oo"-*- 4 del gruppo 3". Diamo senz'altro l'enunciato, includendovi l'inter- 

 pretazione degli altri sottogruppi eccezionali di K (che è immediata). 



t II gruppo (3°) oo n+5 delle trasformazioni di Jonquières d'ordine n 

 {nel piano), che mutano in sè il sistema cx> n+1 /jL delle curve d'ordine n con 

 un punto base (n — l)plo e le n — 1 tangenti fisse, contiene tre e tre soli 

 sottogruppi eccezionali a, /?, y risp. cc n +-, co M+2 ed <x> n+l . 



« Mentre per una trasformazione generale del gruppo totale vi è nel 

 sistema [i una curva unita che non si compone delle due rette unite per 

 il punto (n — l)plo, in una trasformazione generica del sottogruppo <x> n+i a, 

 non vi è alcuna curva unita del sistema n che non si componga delle due 

 rette unite nominate. 



« Il sottogruppo oo n+2 /? si compone delle trasformazioni di Jonquières 

 prospettive coi raggi uniti pel punto base (n — l)plo del sistema fi. 



« Il sottogruppo oo« +1 y (comune ad a e fi) si compone delle trasfor- 

 mazioni di Jonquières prospettive che subordinano omografie paraboliche sui 

 raggi uniti pel punto base (n — l)plo del sistema fi, e sono due a due 

 permutabili. 



« 8. Possiamo illuminare i risultati ottenuti ponendo in relazione il nostro 

 gruppo (3°) con un altro gruppo ben noto ; ne seguirà una notevole interpre- 

 tazione della geometria del piano che ha il detto gruppo come gruppo prin- 

 cipale di trasformazioni. 



« L'inviluppo del cono d'ordine n di S„+i può trasformarsi per dualità 



