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in una linea razionale normale d'ordine n, C, dell' iperpiano all'infinito di S„+i : 

 il gruppo K si muta in quello delle omografìe trasformanti in sè la detta 

 linea e quindi l' iperpiano a cui appartiene ; ciascuna di queste omografìe al- 

 tera i volumi in un rapporto costante (è un'affinità) (*) ; il sottogruppo ecce- 

 zionale ce è dato dalle affinila equivalenti (conservanti i volumi) che trasfor- 

 mano in sè la data linea all' infinito ; i gruppi § e y risp. dal gruppo delle 

 omotetie e delle traslazioni in S re+1 . Così l'esistenza di 3 sottogruppi ecce- 

 zionali in K poteva dedursi a priori: occorreva mostrare che non vi erano 

 in K altri sottogruppi eccezionali, e vedere come questi vengano rappresen- 

 tati ; effettivamente al gruppo generale delle affinità equivalenti non compete 

 la proprietà peculiare di avere un iperpiano unito infinitamente vicino a 

 quello all' infinito, proprietà che spetta al sottogruppo ottenuto aggiungendo 

 come corpo la linea C. Ma nel caso in cui n è pari questa proprietà poteva 

 riconoscersi notando che la quadrica (dell' iperpiano all' infinito) definita dalla 

 polarità in cui un punto della C corrisponde allo S n _i osculatore ( 2 ), è mu- 

 tata in sè dalle omografìe del gruppo, il quale può quindi considerarsi come 

 sottogruppo del gruppo delle similitudini. Una considerazione analoga potrebbe 

 istituirsi quando n è dispari sostituendo, come assoluto, un sistema nullo ad 

 una quadrica ; i due casi potrebbero considerarsi analiticamente sotto un aspetto 

 comune ( 3 ). 



« Daltra parte la geometria del piano che ha come gruppo principale 

 quello delle trasformazioni del gruppo 3°, è suscettibile della seguente in- 

 terpretazione. 



« Si rissi nell' iperpiano all' infinito di S n+1 un assoluto costituito dalla 

 linea C. Per una retta r di S n+1 (non all' infinito) si hanno così n iperpiani 

 Li Li ... L M seganti lo S n _! all'infinito negli S„_ 2 osculatori alla C per il 

 punto all' infinito della r. Due arbitrari iperpiani per la r, considerati come 

 corrispondenti, determinano una proiettività (e l' inversa) nella forma 

 degli iperpiani per r. dove Lx ... L n sono elementi uniti ; possiamo conside- 

 rare gli n — 1 invarianti assoluti di questa proiettività (o i loro logaritmi) 

 come gli angoli dei due iperpiani nella forma Q> n - V , nel senso che essi ser- 

 vono a fissare la reciproca posizione dei due iperpiani nella forma, come l'an- 

 golo di due piani nel fascio (di S 3 ) ; due iperpiani non determinano i loro angoli 



(!) Per il gruppo delle affinità negli iperspazi cfr. Lie, op. e, Bel. I, S. 574. 



( 2 ) Secondo un teorema di Clifford, On the classification of Loci (Philosophical 

 Transactions, 1878). 



( 3 ) Il gruppo delle similitudini di S 3 (come duale del gruppo del cono quadrico) è 

 considerato in Clebsch-Lindemann Bd. II, S. 373 ; per la letteratura relativa ad esso e al 

 sottogruppo dei movimenti oltre alla op. c. cfr. Lindemann, Math. Ann. VII S. 56: per il 

 gruppo delle similitudini negli iperspazi cfr. Lie, op. c. . Il gruppo delle trasformazioni 

 lineari del sistema nullo in sè è considerato in Clebsch-Lindemann, op. c. S. 373 e 389. 



Rendiconti. 1893, Vol. II, 1° Sem. 68 



