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si è partiti, altre genesi ammettono le superficie <t>i (i -— 2 , ... , 5) . Per 

 esempio, 



1° la <t> 2 può essere generata coi fasci proiettivi di cubiche e quadriclie 



x 2 2 + § x x, 2 + X § x (2 Yx x 3 + q x %i) = 0 

 <*x %i — X y x - = 0 ; 

 2° la $3 coi fasci (immaginari) proiettivi di qnadriche e cubiche 

 (ct x x i J r i§ x x 2 )q x J [-X(a x x l x 2 J r ^ x x 3 x i ) = () , 2a x 8 x —lx 4 (o! x —i^ x ) = 0 ; 



i = 



3° la <2> 4 coi fasci proiettivi di cubiche e quadriche 



§x xi 2 + a x (x 3 2 — x 2 %i) + X q x h x (®i + x 3 ) + «r*) = 0 



«a; + X fio 2 — 0 



4° la <P 5 coi fasci proiettivi di quartiche e piani 



qx {qx (*x Xi + a x 2 x 2 ) 

 +AE«*{a^ 1 # 4 +#,(^<+a fl ^ 



a x -\- X x± ~ 0 . 



§ HI. 



Sotto-varietà e degenerazione delle superficie <2> . 



« 7. Fincbè la retta tripla si lascia interamente arbitraria, la superficie 

 non presenta altri casi che quelli enumerati; ma se r si sceglie fra le rette 

 della congruenza (6 , 2) (') formata dalle generatrici e direttrici delle qua- 

 driche della schiera 



X Ua 2 + = 0 , 



intervengono altre particolarità. Si ha : 



1° Se r non è in nessuno dei piani t ? una delle rette h , b'% viene 

 a cadere su r , e per r passa un piano nella cui sezione colla superficie r 

 conta per quattro: la cubica y r si decompone allora in r ed in una conica 

 appoggiata ad r . 



2° Se r è in uno dei piani r t la corrispondente 04 viene a coincidere 

 con r , epperò 0 la superficie degenera se è 



T £ = Xip x -{- \li q x ■-- 0 = TTi 



0 r , nella intersezione di ti colla superficie, viene a contare per 3 -f- k se 

 k < 3 e per 3 + 2 = 5 nella intersezione con tt, , ose /£> 2 la superficie 

 degenera ancora. 



(!) Questa congruenza nel caso delle superficie # 3 , #5 si decompone in un sistema 

 di rette (3,1) formato dagli assi di una sviluppabile del 4° ordine e 3 a classe, e nel sistema 

 di rette comuni ai piani di questa sviluppabile ed ai piani di un fascio il cui asse è un 

 asse della sviluppabile. 



Rendiconti. 1891, Vol. VII, 2° Sem. 3 



