si possono ora alle sostituire le E; . Si avranno allora le formule 



& = (Xp R -f- (iq*) Pi — (Xp P -f- fiq P ) Ui (i = 1 , ... , 4) (12) 



per rappresentare <yy. 



« La ha tre punti comuni con un piano arbitrario 5T; : ne segue che 

 ogni xp-r: ha r per trisecante ; cioè la retta tripla è t risecante co- 

 mune a tutte le quartiche ip^. Se ne cava anche che vi sono oo 1 quar- 

 ti che xp-K che hanno r per tangente di flesso, e sono quelle corrispondenti 

 ai piani m per cui l'equazione cubica 



ha le tre radici uguali, cioè corrispondenti ai piani osculatori di (p f . 



§ IL 



Distinzione fra le cinque superficie. 



« 5. Se per punti x% si prendono quelli per cui 



D = 0, (13) 



la corrispondente quadrica degenera. L'equazione D — 0 è di 4° grado nel 

 rapporto p x :q x ; epperò, esclusi i casi in cui qualcuna delle radici oltre ad 

 annullare D annulla anche tutti i suoi minori di uno stesso ordine, nel qual 

 caso le funzioni vengono ad acquistare dei fattori comuni, e quindi come lo 

 mostra l'equazione (5) la superfìcie degenera, e non tenuto conto della realità 

 o meno di quelle radici, i seguenti casi possono presentarsi : 



1° o le radici sono tutte semplici; 2° o una radice è doppia; 3° o 

 due radici sono doppie ; 4° o una radice è tripla ; 5° o una radice è quadrupla. 



« Diremo <P t , £> 2 , (P 3 , <P 4 , <P 5 la superficie <D corrispondentemente a 

 quei casi. 



« Il piano della quadrica che corrisponde alla radice pi : di D = 0 

 diciamolo %i , e diciamo iti il piano <Jip x — Qiq x =^ corrispondente a quella 

 quadrica in (r) . Sarà allora r 1/1x1 = ai una retta della superficie <P , che sul 

 piano 77-j conta per due ; e quindi 



1° La superficie <b x ha altre 4 rette semplici lungo 

 ciascuna delle quali ha invariabile il piano tangente. 



« Inoltre se gì : tf; è una radice k pla di D = 0 la retta ai conterà per 

 due sul piano 7r ; e per Jc sul piano %i , e quindi 



2° Le superficie #> 2 , # 4 , <P 3 hanno ciascuna una retta 

 doppia, la superficie (P- 3 ne ha due, mentre poi <T> 2 , CP 4 , d> 5 

 hanno rispettivamente 3, 2, 1 altre rette semplici. 



« Su 3> 3 , <P 5 riconosceremo poi l'esistenza di altre rette semplici, 



« 6. Corrispondentemente a ciascuno dei casi precedenti si può dare una 



