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ha una conica in ogni piano condotto per r, mostra che la retta r è tripla 

 per (P ( 1 ). 



« 2. Se nell'equazione (4) si mantengono ferme le yi , la (4) dà i piani 

 che corrispondono alle tre quadriche (2) uscenti da y- L . Se yi appartiene ad r, 

 ognuno di tali piani contiene, oltre ad r, la tangente alla conica ulteriore 

 sezione colla superficie, epperò sarà un suo piano tangente. In ogni punto 

 della retta tripla si ha, dunque, una terna di piani tangenti, 

 rappresentata complessivamente dall'equazione 



Z ®ik {Pl r )i (M r )n = 0 ( 6 ) 



ik 



ove Ti (i — 1 , ... , 4) sono numeri arbitrarli variabili, e (pqr)i sono le coordi- 

 nate del punto di contatto. 



« Si ha così un'involuzione cubica attorno ad r, i cui gruppi corrispon- 

 dono uniformemente ai punti di r. Si può facilmente riconoscere che i piani 

 doppi di tale involuzione si ottengono eliminando le y- L fra le equazioni 



Z^W = 0, Z^V</* = 0, A = 0,^ = 0 (7) 



ik ofx ik ì>q x 



« 3. Fra i piani di r consideriamo quelli tangenti alle quadriche corri- 

 spondenti. Visto che per 



Ut = Ifi -f Mi 



si ha 



m = tyb -f- (0 

 bisognerà dare a /t:^i tali valori che 



* + p q<x) 2 + ^ ()*n + = 0 



cioè 



Vp« 2 + r- fi (2p a q* + ptf) + V (2pp q ?J -f q^) + fi* = 0 . (8) 

 «Siano Xiijii (i=l, 2, 3) le radici di questa cubica: i tre piani 

 saranno 



kpx + lH q x = 0 (9) 



e le quadriche corrispondenti 



k u£ + [n utf = 0 . (10) 

 it Ognuno di tali piani ha, colla quadrica corrispondente, comuni due 

 rette. La superficie ha, dunque, altre sei rette che a due a due 

 si tagliano e che tagliano tutte la r. Diremo bi, b\ (i — 1, 2, 3) 

 tali sei rette, convenendo di indicare con b\ la retta tagliata da bi . Si pos- 



(!) È ad osservarsi, d'altronde, che, indipendentemente dall'equazione (5), tutto ciò 

 si può stabilire direttamente coll'aiuto del principio di corrispondenza di Chasles, su 

 una retta. 



