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§ I. 



Generazione e proprietà comuni alle cinque superficie. 



« 1. Un connesso spaziale (1, 2) il quale specializzi in modo da avere 

 una retta di punti singolari r, può essere sempre ricondotto alla forma 



9 = q*u* % — p x uf = 0 (1) 



ove si ha 



4 4 



s x = Xi , u-,. = y ui Yi (s =p, q ; y==a,B), 

 i l 



e dove ^ == 0 , q x = 0 sono due piani condotti per r. 



« 11 connesso specializza allora anche in modo da avere una sviluppa- 

 bile di 4 a classe di piani singolari, come si cava dalla equazione (1), e come 

 si caverebbe anche con semplici considerazioni sintetiche. 



« L'equazione (1) può essere rimpiazzata dalle due 



htf -f- f.iuf = 0 (2) 

 + M* =0 (3) 

 le quali riferiscono proiettivamente le quadriche del connesso ai piani del mede- 

 simo. Per mezzo della (3), quella quadrica che la (2) fa corrispondere al piano ~y~r 

 fa pure corrispondere la (1) al punto y t ; se, quindi, è un punto che sta 

 sulla corrispondente quadrica rispetto al connesso, esso appartiene alla sezione 

 del piano (3) colla corrispondente quadrica (2), e viceversa. — Nasce, dunque, 

 la stessa superfice sia prendendo, rispetto a <f , i punti che 

 stanno sulle corrispondenti quadriche, sia segando le qua- 

 driche (2) coi corrispondenti piani (3). 



« Diremo d> una tale superficie : la prima delle due definizioni precedenti 

 permette subito di scriverne l'equazione, la seconda mostra intanto che 0> 

 possiede una conica in ogni piano condotto per r. 



« Scriviamo in coordinate di punti l'equazione (1). Detto % il sub-deter- 

 minante complementare dell'elemento t ik = q x a t a n —p x S n nel determinante 



D = 1 1* | 



tale equazione sarà 



Z G « ÌJiì/k = 0 (4) 



ih 



epperò l'equazione della superficie sarà 



y Xi sc k = 0 . (5) 



ik 



« Il grado di questa equazione mostra che Q> è del quint'ordine; 

 quello delle funzioni in p x e q x , o anche il fatto notato sopra che <1> 



