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§ 6. 



« La teoria indicata al n.° precedente, mentre permette di studiare più 

 intimamente la composizione del gruppo riproduttivo di una forma indefinita 

 di Hermite, consente anche una notevole applicazione alla teoria delle forme 

 ternane quadratiche reali, che qui da ultimo indicherò. 



« Prendiamo per F la forma principale 



F = [1 , 0 , — J~] .== xx — Jyy 

 a determinante positivo J e consideriamo le forme f di Dirichlet a determi- 

 nante reale in involuzione con F. Secondo che il determinante di f è posi- 

 tivo o negativo troviamo 



ì f~ {f~k 'Q f /T > . $ Vi) , -4 (P - iQ |/D)) 



designando ogni volta P,Q,N numeri interi reali. Per una forma <D di 

 Hermite m involuzione con F troviamo similmente 



« Se applichiamo ad una forma a) b) o e) una sostituzione del gruppo 

 riproduttivo di F = [i , 0 , - J% essa si trasformerà rispettivamente in una 

 forma della stessa specie e di eguale determinante: 



a ') f = t$Vp i m, Y$ , (p - «Qy d)) 



c') f = [f vP'+^QyD,4iY], 



per cui si otterrà nei tre rispettivi casi 



^ (P' 2 + DQ' 2 ) - DN' 2 = d (P* -f DQ 2 ) - DN 2 

 ^(P' 2 + DQ'*)- N'« = ^(P» + DQ 8 )— W 

 P'* + DQ' 2 — z^N' 2 = P 2 + DQ 2 — ,/W. 

 « E poiché ogni volta P', Q', N' si esprimono per funzioni lineari ed omo- 

 genee di P , Q , N con coefficienti interi (reali) otteniamo così un gruppo di 

 sostituzioni ternarie che trasformano in sè medesime le forme ternarie reali 



l ) 4 (X 2 + DY 2 ) — DZ 2 



n ) -/(X 2 -f-DY 2 )— Z 2 



1H ) X 2 -f-DY 2 — ^Z 2 . 



" Se ci limitiamo per brevità a quelle sostituzioni del gruppo riprodut- 

 tivo di F che hanno un determinante = + ì e sono quindi della forma 



/« + i§ f/| , J(y — iò f/D)\ 

 \Y -f ià Vi, a — iilf/D /, 



