Si osserverà che per 1 campi (1, z|/2)i ^ I, il, y 



come per i campi (1, i) , ^1, — — ~^ \ già considerati nella mia prima 



Nota, i corrispondenti poliedri fondamentali sono interamente al di sopra del 

 piano , mentre negli altri casi scendono con uno o due vertici fino a 

 questo piano. 



« Diciamo forme di Dirichlet le forme quadratiche 

 ax" -f- 2b xy -f- cif = (a, b, c) , 

 dove a, b, c sono numeri interi nel campo 



(1, i J D) o (l , ~ 1 + 1 1 ° ^ (D = 3 (modi) 



e x, y interi variabili in questo campo e forme eli Hermite le forme qua- 

 dratiche a indeterminate coniugate 



kmx + Bxy -j- B xy + C.yy - [A, B, CJ , 

 essendo A, C numeri interi reali, B, B numeri interi coniugati nel detto 

 campo e indicando nuovamente x, y interi variabili in questo campo, y 

 i loro coniugati. 



« Come nella Nota dei Mathematische Annalen si sostituirà alla consi- 

 derazione di una forma di Dirichlet quella del suo circolo indicatore, mentre 

 una forma definita di Hermite [A, B, C] (a determinante BB — AD nega- 

 tivo) risulterà caratterizzata dal suo punto indice nello spazio superiore e 

 una forma indefinita (BB — AC positivo) dalla sua sfera indicatrice. Una 

 forma di Dirichlet o una forma indefinita di Hermite si dirà ridotta se il 

 suo circolo indicatore o la sua sfera indicatrice attraversa il poliedro fonda- 

 mentale del gruppo. In fine una forma definita di Hermite si considererà 

 ridotta quando il suo indice giaccia nel poliedro fondamentale. Valgono allora 

 per tutte le tre specie di forme i teoremi : 



I) Ogni forma è equivalente ad una forma ridotta. 



II) Le forme ridotte di egual determinante sono in nu- 

 mero finito. 



« Specialmente interessante per una forma indefinita di Hermite è la 

 ricerca del suo gruppo riproduttivo, di quel sottogruppo cioè di G D le cui 

 sostituzioni trasformano la f in sè medesima. Esso è infatti un gruppo auto- 

 morfo e le corrispondenti funzioni automorfe (') offrono colle funzioni modu- 



( : ) La denominazione di gruppi automorfi e di funzioni automorfe, proposta da Klein, 

 sostituisce quella di Fuchsiani di Poincaré. 



