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« Per brevità, posto 



£ — ti/D , 0 e = 



se D = 3(mod4), 



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indicherò con G D il gruppo di tutte le sostituzioni lineari 



(3) / = j+i' " i -^ ±1 



a coefficienti interi nel campo (1, e). 



« Rappresentiamo al modo di Poincaré (*) le nostre sostituzioni come 

 trasformazioni in sè medesima della metà superiore £>0 dello spazio (£, £). 

 Il gruppo G D , non contenendo sostituzioni infinitesimali, è propriamente 

 discontinuo nell' intorno di ogni punto esterno al piano £>/ ; al contrario per 

 tutti i punti di questo piano, come facilmente si dimostra, è impropriamente 

 discontinuo. Esso ammette quindi un poliedro fondamentale limitato da sfere 

 e da piani ortogonali al piano £r y che non ha faccia alcuna sul piano stesso 



§ 2. 



« Se si osserva che le sostituzioni 



r- r 1 



del gruppo G„ producono le rispettive trasformazioni dello spazio 



r = £ + l, i = v, ? = £ 



, r/ = r;-L|/D, f = t 



come al § 3 della mia Nota citata si vedrà che ogni punto dello spazio 

 superiore è equivalente, rispetto al gruppo G D , ad un punto del poliedro 

 definito dalle diseguaglianze 



00. -!<£<! o< v <^f 



« Ma appena D > 3 questo poliedro ha una faccia sul piano £>/ e, pel- 

 le premesse osservazioni, contiene quindi infiniti poliedri equivalenti al fon- 

 damentale del gruppo G D . Allo scopo di separare quest' ultimo poliedro serve 

 mirabilmente il principio dell'ampliamento del gruppo per riflessione {Envei- 



(!) Acta Mathematica Bd. 3. 



