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ordinarie quadratiche trovasi esposto nel recente libro di Klein f 1 ), ho ivi 

 dimostrato che con quella rappresentazione geometrica può stabilirsi tutta 

 la teoria delle forme quadratiche di Dirichlet a coefficienti complessi e delle 

 forme di Hermite a variabili coniugate. 



« Nella prefazione al detto lavoro ho già accennato che tali ricerche 

 sono estendibili ai campi quadratici 



<m,/d), ;;'"'). 



dove D indica un numero intero reale e positivo, che nel 2° caso è supposto 

 della forma 4n -j- 3 . Oggetto della presente comunicazione preliminare è 

 appunto di far conoscere i poliedri fondamentali corrispondenti ai primi va- 

 lori di D e di indicare alcune conseguenze aritmetiche che ne derivano per 

 la teoria delle forme quadratiche di Dirichlet e di Hermite nei rispettivi 

 campi. Lo sviluppo delle dimostrazioni troverà posto in una prossima Memoria, 

 dove spero di poter spingere più avanti le presenti ricerche. 



§ 1- 



« Consideriamo il gruppo di tutte le sostituzioni lineari (1) a coefficienti 

 interi nel campo (1, ij/D) ed anzi tutto ampliamo questo gruppo coll'ag- 

 giunta di tutte le sostituzioni 



(2) '-^r$f 1 



della stessa specie a determinante = — 1, Le (1) e (2) insieme formano 

 un gruppo nel quale il primitivo è contenuto come sottogruppo eccezionale 

 d' indice 2. 



« Inoltre se D = 3 (mod 4), il numero 



— 1 + i j/D 



S = 2 



è intero algebrico e il detto gruppo è alla sua volta contenuto come sotto- 

 gruppo d' indice finito nel gruppo che si ottiene facendo percorrere ad a, /?, 

 Y, à tutti i numeri interi del campo (1, «) che soddisfano alla condizione 



ad — py—zt.ì. 



« Il poliedro fondamentale del sottogruppo è noto appena fissato quello 

 del gruppo, che essendo in ogni caso più semplice, conviene per primo ricercare. 



(*) Vorlesungen iiher die Theorie der elliptischen Modulfunctionen ausgearbeitet 

 und vervollstàndigt von D r E. Fricke. 



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