lineari (*), mentre ima forma bilineare simmetrica a variabili contragredienti 

 ha, in generale, due invarianti assoluti. Le condizioni per la mutabilità di 

 una coppia di forme bilineari in un'altra con una stessa sostituzione lineare 

 sono dunque diverse nei due casi. In questa Nota io ho lo scopo di occu- 

 parmi di quelle interpetrabili con sistemi polari : lo studio relativo alle altre 

 sarà fatto in altra occasione. 



« Intanto io devo dichiarare che la forma da me qui data ai ragiona- 

 menti, mentre è, in apparenza, tutta algebrica (sicché, sotto tal punto di 

 vista, potrei anche dire che in questa Nota io fo dell'Algebra per una cop- 

 pia di forme bilineari) è in sostanza tutta di geometria pura di posizione, 

 giacché il lettore, per passare da tale forma di ragionamento a quella secondo 

 cui ordinariamente questa geometria si sviluppa, non a fare cbe dei piccoli 

 mutamenti di locuzioni e di notazioni. 



« Per raggiungere però nel modo più preciso lo scopo di fare che, mal- 

 grado la veste analitica, i ragionamenti siano di geometria pura, il lettore 

 vedrà che io evito quelle operazioni dell'Algebra che non saprebbero immedia- 

 tamente tradursi in operazioni (costruzioni) eseguite sopra elementi geometrici, 

 sostituendone altre che malgrado pure algebriche, sono interpretabili in tal 

 modo. Un esempio di ciò sarà visto subito ed il lettore ne sarà tenuto avvertito. 



" 1. Il teorema che stabilisce la condizione necessaria e sufficiente per 

 l 'equivalenza di due coppie di forme bilineari rispetto a trasformazioni del 

 gruppo lineare reale è il seguente, che io passo senz' altro a dimostrare : 



«Si equivalgono, rispetto a trasformazioni del gruppo 

 lineare reale, due coppie di forme bilineari simmetriche a 

 variabili cog redienti, uguagliate a zero, 



se si equivalgono rispetto allo stesso gruppo le due forme 

 bilineari a variabili contragredienti 



6^(<p, ip) , d'==(<p', xp') 



che provengono dalla composizione di y con ip e di (f> con ip', 

 meno quando le radici del determinante caratteristico di 

 0 = 0 (e quindi anche quelle del determinante caratteri- 

 stico di 6' = 0) sono reali, nel qual caso occorre ancora che 

 le due coppie di forme quadratiche 



ysEElyxXiX^O. ip=2tli ih XiX k ^=0; cp'=2(f' ^0X^-0, if.'=2ip' ih <i'i% h =Q 

 abbiano un egual numero di soluzioni reali comuni. 



« Per dimostrare questa proposizione in tutti i casi possibili dobbiamo 

 dimostrare, in primo luogo, che ogni forma bilineare a variabili contragre- 



(') Nella mia Nota Sui gruppi completi di tre trasformazioni ecc., inserita nei R. della 

 R. Acc. dei Lincei, 1890, io ho dimostrato con procedimenti sintetici, che le forme bilineari 

 a variabili cogredienti, simmetriche o a coefficienti alternati, non hanno invarianti assoluti. 



Rendiconti. 1891, Vol. VII, 2° Sei». 12 



