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dienti d = 2d ilt Xi u k ~ 0 può provenire, in una infinità di modi, come risul- 

 tante della composizione di due forme simmetriche a variabili cogredienti. 

 A tale scopo consideriamo le tre forme lineari p x — 0 , q x — 0 , r x — 0 

 tali che (pqr) = 0 : le forme che per mezzo di 0 = 0, corrispondono a 

 queste tre siano p' x — 0 , q' x = 0 , r x = 0 e si ponga cf* = (d'j = a';, 

 b'i , c'i ; t=p, q, r, f =p\ q', ?'). Le variabili d'i siano quelle che 6 = 0 

 fa corrispondere alle di = a,i, bi ,Ci (i — 1, 2, 3); allora si avrà 



t x = (dd'x) (t=p,q,r; d = a,b,c; d' = a',b',c') 

 epperò, formando le 



(box) == 0 , = 0 , (abx) = 0 ; {V ex) - 0 , (c'a'x) — 0 , (a'b'x) = 0 



e ponendo 



£'<==(tó)<, Bi = (c4, Ci = (%; A' f = (iV) f , BW^V)» &i£tftfjt 

 Ot = (AA') £ bi = (BB'); e'-(CC')i 



sarà 



(n 6 c) = 0 ; 



sicché, esiste una forma bilincare simmetrica g> = 2<f ik x% x k rispetto a cui si ha 

 2<Pìu di (b' k -+- lc\) — 0 , 2cp ih bi (c\ -f- Aa' 1{ ) = 0 , Zip ik c t (a' k -4- Xb' H ) = 0 

 indipendentemente da X. 



* Componiamo una tal forma con la 6~ l = 2Q ik xi u k dove le &i k sono 

 i complementi algebrici degli elementi 0 ik nel determinante \6 iH \. Dicendo W 

 la risultante di tale composizione, cioè ponendo 



xp = (cp, 



si avrà che ip = 2ip ik xi y k = 0 dà 



2'ipiH ^ (fa -h Xe k ) = 0 , 2^ b ik (c ìt 4- = 0 , 2ip ik a (a k -+- %) = 0 

 indipendentemente da A ; epperò che è ip iH ----- ipu , cioè che ip è simmetrica. 

 « Ora, essendo (</*, U>) ~~ 1 , dalla ^ = (<p, precedente si cava 



6 = {<p,xp) 



che dimostra l'asserto ('). 



« Si osservi che per la validità del ragionamento precedente occorre che, 

 posto (pp')i = Pi , {qq')i = Qi , (rr')i = R; non si abbia (PQR) = 0. Sicché 

 se rispetto a 0-0 esiste un fascio p x 4- Xq x di forme lineari ciascuna delle 

 quali corrisponde a sè stessa, per p x , q x , r a . si prenderanno tre qualunque 

 di tali forme, e si prenderanno poi , h , a(i = 1, 2, 3) per modo che non 

 si abbia (abe) — - 0 . 



« 2. Dal ragionamento precedente segue che le 8 eh' di cui è parola 

 nell'enunciato teorema possono essere tutte le possibili forme bilineari. Ora, 



i 1 ) Un esempio di quanto ho detto in fine delle poche parole di prefazione, si ha 

 precisamente nel ragionamento precedente. Ogni operazione che vi si fa è traducibile im- 

 mediatamente in una costruzione. 



