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è evidente che la condizione di cui si parla in quel teorema è necessaria : 

 ci limiteremo, perciò, a dimostrare solamente che è sufficiente. 



« È bene però di avvertire anzitutto che noi possiamo, quando ci con- 

 verrà, limitarci a dimostrare sotto le enunciate condizioni, l'esistenza di tra- 

 sformazioni lineari reali che, mentre mutano 8 in 8', mutano pure cp in g>' 

 o xp in xp' ; poiché dalle supposte relazioni (</, ip) = 8 , (e/, xp') = 8' , seguen- 

 done le altre c/ = (8, cp' = (8', xp'), se per mezzo di una trasformazione 

 lineare 2 è 



V 2 ' 6 ' — 6' 

 sarà | 2~\ (<f,xp),2\=z (2r\ xp, xp, 2) = (<//, xp') ; 



e poiché è (2- 1 ,q}) = (xp',2- 1 ), sarà anche (e/, 2~\ xp, 2) = (cp', xp') ; d'onde 



(2~\ xp, 2) _-= »//. 



« 3. Ora distingueremo diversi casi. 

 1° Le due forme xp ■ — 0 , xp = 0 abbiano una soluzione comune qua- 

 drupla, e siano % G -= 0 , g x — 0 le forme lineari di comune contatto qua- 

 druplo. Significato analogo abbiano u a r— 0 , g' x ■-= 0 rispetto a g/ = 0 , ip'~-0. 

 Sarà G ff = </ G = 0 , G'^ = g' & = 0 . Le forme bilineari 6, 6' avranno rispet- 

 tivamente in g x = 0 , G G = 0 e in — 0 , ?v — 0 sostegni di schiere e 

 di fasci di forme lineari unite ; sicché, ogni sostituzione lineare per cui Gr s =0 

 si muta in G' g = 0 mutando p. e. le Gì nelle G'i muterà 6 in 8'. Ora con- 

 sideriamo una Sì di tali sostituzioni determinandola nel modo seguente. 



« Agli elementi a- t che oltre a G; la forma lineare (Gkx) — 0 ha comune 

 con xp — 0 , la sostituzione debba far corrispondere gli elementi a\ che la 

 forma lineare (G'h'x) = 0 ha comune con xp' — 0 ; ed inoltre detti a' aì gli 

 elementi che per mezzo di 8 =• 0 corrispondono agli elementi ài , ed 

 quelli che corrispondono ad <Zi a) per mezzo di 8', si determini Sì anche per 

 modo che siano corrispondenti at a \ a\ a) . In fine, posto che per Wi = k, 

 x'i = ll si abbia 2<p lk U (Gh) k r= 0 , 2cp' ik U (&h% = 0 , e dette è; 0= 1, 2, 3) 

 uno degli elementi che (a (v l' x) ' = 0 ha comune con <p = 0 , e b\ uno di 

 quelli che (a! a) l' x) — 0 htl comune con g/=0 si determini -Q anche in modo 

 che siano corrispondenti b{, b\ . Allora, dovendo Sì=\ q?Jì = 2Sì ik x k sod- 



k 



disfare alle condizioni 



qk'i — 2 Sì ik k k 

 per k 



k t s=Qti, ai, h, h; 1e{ s= , «'« , (indici 2, /f = 1, 2, 3) 



sarà completamente individuata, epperò, mutando di xp = 0 i tre elementi Gì, 

 di , hi e le due forme lineari di contatto G^ = 0 , (alx) = 0 , in Gì , a- t 

 di xp rispettivamente nei tre elementi G'i , di , b\ e nelle due forme lineari 

 di contatto G'^ — 0, (a'L'x) — 0 in G'i, di di xp', muterà tp in </'. 



2° Se le due forme <p — 0 , xp =0 hanno a comune una soluzione 

 tripla, abbiano u a = 0 , ^ — - 0 ed w G ' — 0 , g' x ~ 0 l'analogo significato 



