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che nel caso precedente : indi si dicano a x — 0 , a' x 0 rispettivamente Je 

 forme lineari di contatto comune alla coppia y>, xp oltre alla g x = 0 , e per 

 la coppia cp\ xp' oltre la g' x 0 . Il contatto di — 0 segua secondo 

 (<za°^) = 0 , (aé^u) — 0 , e quello di a'^ — 0 secondo (a'a' (1) if) — 0 , 

 (a'a' w u) = 0 . Allora, detto ^ {i .— 1, 2, 3) il secondo elemento comune a 



xp = 0 ed a (Gaa a> #) — 0 , è/ il secondo elemento comune a xp' = 0 e a 

 (G^Y' 1 '^) = 0 , e detti inoltre gli elementi comuni rispettiva- 



mente a (G«a (2) ^) = 0 e (gab ll) x) = 0 ; (GVa' C2) ^) 0 , (fa' b' w x) = 0, 

 una sostituzione lineare Sì = ) qìJì = 2!J? ift e individuata dal dovere sod- 

 disfare alle condizioni 



qk'i — Siiik k k 

 ove è k 



h ^iaa^ , (aa™% , h , *,<» ) _ 

 k'^ia'a'^ b\, j lMlC1 *'* ~ A ' ^ ó ' 



» Una tale sostituzione, mutando i tre elementi (aa m )i , Gì di i/' — : 0 

 colle forme lineari di contatto g x — 0 , — 0 in Gì , rispettivamente 

 nei tre elementi (a tì' <2) ); , è'; , G'* di xp' = 0 colle forme di contatto - 0. 

 a' x ==, 0 in G'i , b( muterà t//«= 0 in xp' = 0. Ma, detto <?; (i =--1,2, 3) 

 l'ulteriore elemento comune a cp — 0 , xp — 0 oltre G; , e detto di l'elemento 

 analogo per y' — 0 , xp' = 0 , la forma (Grcx) = 0 , come coniugata armo- 



nica della g x — 0 rispetto alle (Ga« (1) #) — 0 , (Qaa a) x) — 0 è mutata nella 



(G'tfV) = 0 che è coniugata armonica di g x = 0 rispetto a (G'a'a' a) x) — 0 . 



(G'aV (2) «r) = 0 ; dunque sarà da X? mutato anche ^ in c\ ; epperò -Q muterà 

 allora anche <p — 0 in <p r = 0 . 



3° Se le due forme y =■ 0, xp = 0 hanno una soluzione comune dop- 

 pia, abbiano u a — 0 , g x = 0 , a G > — 0 , g' x ~0 l'analogo significato che 

 nei casi precedenti, e si dica a x — 0 la forma lineare che contiene le altre 

 due soluzioni comuni a <p = 0 , xp ~ Q , eà a' x = 0 l'analoga forma per 

 ^' — - 0 , 1^' "— 0 . Si potrà sempre supporre che queste altre soluzioni comuni 

 siano reali, poiché, se ciò non fosse, posto E; = (ag)i , E'j = (a'g')i e consi- 

 derando le forme lineari 



e x = 2<f in (ag)i y ìt = 2ip ik (ag)i y h — 0 

 e' x = 2g>' a (a'g')i y h = 2xp' iH (a'g')i y k = 0 



si potrebbero rimpiazzare le forme g>, xp con quelle y x = (<f, y), i/'i = (V-S y) 

 provenienti dalla loro composizione con quella forma bilineare y=0 che accop- 

 pia involutivamente le forme lineari del tipo e x -+- 'Ap x — 0 , e quelle del 

 tipo u E -+- = 0 , ove p x , u P sono forme lineari arbitrarie e X un numero 

 qualunque, ed analogo rimpiazzo potrebbe farsi per le <j\ xp' . Una sostiti!- 



