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§ I. 



Genesi proprie delia 0> 3 — Rappresentazione piana. 



« 1. Quando l'equazione D = 0 ha due radici doppie la sviluppabile 

 dei pjani tangenti della schiera (2) (n. cit.) si compone di una sviluppabile di 

 3 a classe e 4° ordine r, e di un fascio (s) di piani che contiene due piani di r 

 Presi allora due piani tv, n' di Ij ed in n tre punti non allineati 7i 

 e detti a/, fa' , Y l quei tre punti di n' tali che i raggi 

 «i a i > Pi fa' , n ri siano assi di F, la equazione di quella schiera può essere, 

 con una unica sostituzione lineare, ricondotta alla forma : 



X (tìp «ty — «p, M r ) 4_ u Ma , _ ^, ^ __ Q ? ^ 



epperò alla considerazione del connesso 9 può essere sostituita la conside- 

 razione simultanea delle 3 equazioni 



(tt ) = Xu a ~t~ fiup -f- vu-j = 0 (2) 

 (n')= Xua'-h [*Ufr-+- vuy= 0 (3) 

 {r)=ip x + Mx =0 ^ 



dove X, fi, v sono parametri arbitrari variabili. 



« Le prime due di queste equazioni definiscono una corrispondenza proiet- 

 tiva, non degenere, fra i piani re , „' : ciascuna di esse considerata poi in- 

 sieme^ alla 3 a definisce una corrispondenza reciproca degenere fra il piano 

 tt, on\ e la stella che ha il centro in un punto qualunque della retta Paì =0, 

 q w = 0. Si può, dunque, considerare <P 3 come luogo dei punti 

 comuni alle rette del sistema Sì, generato da (tt), (tt') ed ai 

 piani di una stella riferita a questi reciprocamente, mediante 

 una reciprocità degenere. 



« Da ciò segue subito che un'altra retta della superficie è 

 la s, e che le due rette doppie sono nei piani tangenti di F 

 che passano per s. Si ha quindi, dette d, , d 2 le due rette doppie, in 

 sd,d 2 r un quadrilatero storto della superficie. Consideriamo il fascio-schiera 

 delle quadriche che ha per base un tal quadrilatero storto. Ogni quadrica 

 di esso viene ad avere a comune con 0> 3 il luogo dell'8° ordine s-h2d ì 

 ~h2d 2 + 3r , epperò taglierà ulteriormente <P 3 secondo una conica. Dico che 

 l'inviluppo dei piani di queste coniche è un cono quadrico. 



« Infatti, dicendo £ un tale inviluppo ed h la sua classe, dalla defini- 

 zione stessa di # segue che esso è riferito proiettivamente alle quadriche 

 del fascio-schiera (sd.d.r), e che la superficie nasce come luogo 

 delle coniche comuni a quelle quadriche ed ai corri- 

 spondenti piani di Ciò posto, sia rn una retta arbitraria, e ad 

 ogni punto M di m si faccia corrispondere quel punto M' nel quale m è 

 tagliata dal piano di £ corrispondente alla quadrica del fascio-schiera con- 



