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dotta per M ; allora, viceversa, come per M' passano h piani di f>, verranno a 

 corrispondere ad M' altrettante coppie di punti M ; epperò si avrà su m una 

 corrispondenza (1, 2h) i cui punti uniti sono i punti m.d> 3 . Si dovrà per- 

 ciò avere 2h-hl = 5, e quindi h = 2. Il cono g) è dunque della 2 a classe : 

 il suo vertice è, evidentemente, su s. 



«Da ciò segue chela superficie 0> 3 è anche un caso partico- 

 lare della superficie generata dalla serie lineare di quadri che 



X\ x 3 — ^2 Xi — 0 

 e dalla serie quadratica di piani 



p x ~h2?.q^-h l*r x = 0 (t x =j_tiXi, tz^p,.q,rj 



dove non è, indipendentemente dalle s, 



(pqrs) = 0 , 



cioè della superfìcie 



p x x 2 2 X4 2 + 2x l x 2 x 3 x± q x + r x x* x 3 2 = 0 , 

 ed un tal caso particolare si ottiene supponendo, p. e., che sia (pqr^ipqr)^®. 

 In queste ipotesi si può quindi prendere anche l'equazione precedente per 

 equazione di (P 3 . 



« 2. Passiamo ora alle formule della rappresentazione piana di (p 3 . 

 Prenderemo per piano rappresentativo il piano n. Per un punto ìji di (tt) e 

 pel punto corrispondente y\ in (n!) si ha 



fi = Xccì -+- ppi -+- vyì , yi = W -+- nPl + vy! 

 (i = 1 , ... , 4) ; 



epperò il punto Si = Qiji -+ q y{ sarà sul piano (4) corrispondente di y t 

 ed yl se, posto 



V = P* ■ X2 + W ■ ^ + (n — ?« ) V + £7 . ttV +.P i' rA ^ 

 ip'=p a ,. A 2 -|- g-^. u 2 + (pp H- (/a') ^ 4- qfpv -h pyvl 



si abbia 



qxp H- ? >' = 0 . 



Da ciò segue che le formule della richiesta rappresentazione piana sono 



Zi = + pfr + vyi) ^' — + M' + ^r/) V ( 6 ) 

 (r=l,...,4). 



« Le coniche t/; = 0 , ip' — 0 sul piano zr hanno a comune il punto 

 2 = 0, ,u --- 0 , cioè ^^ T = 0 = rcs = S , e sul piano n il punto = 0 

 ^tt's = S'. Diremo 1,2,3; 1', 2', 3' le altre due terne di punti comuni 

 a xp = 0 , 1// = 0 nei due piani, ed allora si avrà senz'altro che 11', 22', 33' 

 sono tre delle rette della superficie, appoggiate tutte alla 

 retta tripla. 



« 3. Dalle formule (6) segue che una sezione piana, quella p. e., data 

 dal piano vc x — 0, è rappresentata dalla cubica 



(Ina. + {XTt'p + r7T 7 ) l// (/TTa' + fWTfl' + VTt^t) Xp = 0 



