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la quale passa pei punti S, 1, 2, 3 che sono perciò i punti fondamentali della 

 rappresentazione: il sistema lineare rappresentativo è dunque formato da cu- 

 biche condotte per tali quattro punti. 



« Dalla relazione proiettiva, non degenerata, che la relazione reciproca 

 degenere fra (2), (3) e (4) pone fra il fascio di rette (S,n) ed il fascio di 

 piani (r), segue che le sezioni piane fatte coi piani di (r) sono rappresentate 

 dalle rette del fascio (S, n). Vi è dunque in n una conica fissa sulla quale 

 sono rappresentati i punti della retta tripla. Ecco ora come io formo l'equa- 

 zione di una tal conica, risolvendo dapprima un problema più generale. 



« Consideriamo nello spazio una retta arbitraria p, e per essa due piani 

 arbitrari ^ = 0,^ = 0; le sezioni prodotte da tali piani avranno per 

 immagini le cubiche 



(^a+ prifl + vTt,.) xp' — (Atjv + pap -+- vtt y ) ip = 0 

 (Xr a ~j- m + i-r T ) xp' — (Xr a , -f- w -f- rry) ip = Q , 

 e le coordinate sul piano n dei punti immagini dei punti p.<P 3 sono date 

 dalle soluzioni comuni a queste equazioni, diverse da quelle che rappresen- 

 tano i punti S, 1, 2, 3. Ora ogni tale sistema di soluzioni rende, senza ren- 

 dere, in generale, zero xp, xp', coesistenti le due equazioni precedenti, epperò 

 per esso si avrà 



to a ~h (in $ -+- i<7r T Xrr a r ~j~ urr^-h vi 



= 0 



cioè, posto = n a r a , - naf r a , (nr)^, = n a tp - np r a , ecc.. , 



K (7rr) aa , -f- p* (W)pp, + v 2 ^tzt)^, + Xfi ] (^v)^ — (ttt)^ j + 



4- fiv j {nr)^, — (7rr) P y T ( + vX \ (/rr) yct , — (tct) fa [ = 0 ^ 

 « Questa equazione è del 2° grado in X, t a, v e rappresenta perciò una 

 conica. Noi dunque possiamo dire che la conica la quale sul piano 

 rappresentativo contiene le immagini dei punti della super- 

 ficie sopra due piani tt x = Q, t x = q ha per equazione la (7). 



« Ciò porterà nel seguito ad una importante conseguenza. Limitandoci 

 ora a supporre che sia p = r e che per n a e x x si siano presi p a e q x noi 

 abbiamo che la conica rappresentativa della retta tripla ha per 

 equazione 



V (pqU> ~h fi 2 (pq)w + v * (pq) n r 4- X(i j (pq) a p — (pq)^ j + 



4- [iv ] { V q) h > — (pq)p° \-hvX\ (p q ) ia , — ( pq ) ., a j = 0 (8) 

 « 4. Considerando sul piano n la retta 



v = la -f- ^ 



ad essa corrisponderà sulla superficie una cubica gobba. Se si pone 

 §i = l(a i ~i 7 ayt) -4- p (fa b yi ) , 6{ = X (a/ + «y/) + ^ q_ 

 Ipi-h (* =•!,...■ , 4) 



