— 115 — 



non è difficile di riconoscere che le formule della rappresentazione parame- 

 trica di tale cubica sono : 



Xi == Ò r Ò'r — Ò'r Òi (Ì — 1 , ... , 4) . (9) 



« Diremo (f m la cubica corrispondente della retta m ; avremo allora che 

 se è m=~Si(i=l, 2, 3) sarà <p m = s + ii' -+- c si , da che segue che c si b^ 

 un'altra retta della superficie appoggiata ad s, ii', r. Similmente se è m = ik 

 (i, k = 1, 2, 3) sarà <p m = i7,-r- kk' -h c a , e quindi c ih un'altra retta di <2> 3 

 appoggiata ad ii', kti,r. Se ne conclude, dunque, che la superficie £> 3 

 ha ancora sei rette: le <? si e le Cm- 



« Le c S i sono le ulteriori sezioni dei piani r .ii' colla superficie. 



« Se la retta m passa pel punto i, si ha g> m =aii' -f-t»\n, epperò m\ n 

 è una conica appoggiata ad i i' ed anche ad r, c sli , c s i , c&z . Variando m nel 

 fascio (e, n) le rette K (m.Sk, m.Sl, m.kl) descrivono attorno ad E, fasci 

 prospettivi a quelli descritti da m, epperò le coniche ts* m , per m variabile, 

 punteggiano omograficamente le e sh , c si , c M ; e quindi i piani di tali coniche 

 inviluppano una sviluppabile di 3 a classe (Skl) di cui c sh , c s i , Cn sono assi. 

 Oltre alle coniche nei piani di r e quelle nei piani di £), la superficie 

 ha, dunque, altri tre sistemi di coniche nei piani delle svi- 

 luppabili 



(S12), (S23), (S31). 



« Supponiamo ora che m sia un raggio del sistema Sì : esso sarà con- 

 giunto al corrispondente rd in (V) da un piano \i x = 0 della sviluppabile r, 

 le cui equazioni dedotte da (2) e (3) sono 



U_a_ U$_ Uj_ ': 



Uà! U$r U^r 



si avrà dunque identicamente 



2 lH {d8' 7 ) i = {ee'y i i) = 0; 



epperò <f> m sarà una cubica a nodo, col nodo su r. Ciò si vede anche, senza 

 il soccorso delle (9), direttamente. Ne segue che l'ulteriore sezione di ^=0 

 con <P 3 è una conica, e ne concludiamo che una sesta serie di coniche 

 esiste sulla superficie: i piani che le contengono sono i piani 

 della sviluppabile r. 



« 5. La conica di r (cioè del sistema Sì) situata nel piano n dicia- 

 mola jt t . Le tangenti di condotte per S conterranno le coppie di punti 

 rappresentativi dei punti delle rette doppie di 0> 3 : le diremo m y , m 2 in cor- 

 rispondenza delle dì , <2 2 che supporremo essere quelle rette doppie, e diremo 

 9i (2 \ ^2 C2) rispettivamente le involuzioni formate da quelle coppie di punti. 

 Posto tt t {m x , m 2 ) =Mi, M« ; n {a x , a 2 ) =%, A 2 saranno A t , M 2 A 2 

 coppie di §j C2 \ $ 2 <2) , mentre i coniugati Si , S 2 di S saranno i punti nei 

 quali i raggi di Sì giacenti nei piani sai , saz e passanti pei punti sa y , sa 2 

 Eendìconti. 1891, Vol. YII, 2° Sem. 15 



