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tagliano rispettivamente , m 2 . Detta poi Q (3) l' involuzione cubica formata 

 dalle terne di punti immagini dei punti di r, si ha che ogni cubica del 

 sistema lineare rappresentativo passa per una terna di $ (3) , 

 per una coppia di $ a (2) e per una coppia di ^ 2 (2> . 



« Consideriamo una sezione piana ,u condotta per r ed un punto E su r. 

 Le coppie della sezione allineate con E avranno per immagini su n coppie 

 di punti coniugati in una stessa involuzione $ m (2) sulla retta m di S imma- 

 gine del punto /<s . E . <Z> 3 = S* . Variando S',„ descrive la sezione pro- 

 dotta dal piano sE, epperò S m descrive una cubica (9 B con un nodo in S. 

 Si viene dunque a porre sul piano rappresentativo una trasformazione invo- 

 lutoria 3 K C4) nella quale al punto S sono coniugati tutti i punti della cubica <9 R . 

 Cerchiamo il grado di tale involuzione. 



« Sia t una retta arbitraria ; la cubica y t proiettata da E dà luogo ad 

 un cono del 3° ordine con una retta doppia in r. La sezione di questo cono 

 con 0> 3 è 6rrj- 9 , t + r s , epperò r t è del 6° ordine. Questa curva ha per im- 

 magine una curva %' t la quale ha in S un punto triplo e passa semplice- 

 mente per 1, 2, 3. Dovendo una tal curva essere tagliata in 6 punti dal- 

 l'immagine di una qualunque sezione piana, dicendo x il suo ordine sarà 

 3# = 3 -f- 1 1-f- 1 -f- 6 = 12, e quindi z = A. Per mezzo delle $ B 3 

 si pone, dunque, nel piano una trasformazione involutoria del 

 4° grado, e di tali trasformazioni se ne hanno oo 1 . Le cubiche 

 immagini delle sezioni piane condotte per s sono curve fon- 

 damentali per tali trasformazioni. 



« Non insisto su altri particolari relativi alla rappresentazione piana nè 

 sulle proprietà della superficie che potrebbero da essa ricavarsi, sia perchè 

 ciò può essere facilmente fatto, sia perchè altre considerazioni risulteranno 

 dalle cose sviluppate nel paragrafo seguente. Mi piace ora far notare sola- 

 mente che dalla forma dell'equazione delle cubiche del sistema' rappresenta- 

 tivo si ricava che esse soddisfanno alla generazione di Chasles, di comune 

 tipo, data dalle equazioni seguenti 



1™ a -h {M$ ~h V7T~ 6 (?.TT a r -f- fXTt^r -f- r77y) = 0 ) 



V — 0i// = O \( l0 -> 

 « E da ciò si ricava che posto 



= n , 





~9f = 



?*8 



2^ a n 



h 







n 2q$ 











0 



1 





7t a 71$ 



7T^ 



0 





e detto: A; il determinante che si cava da A mutando gli elementi della 

 i ma verticale negli elementi analoghi ma con indici muniti di apici; A iS , 



