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Il lettore però può estendere il risultato alle serie oo r coli' identico ragiona- 

 mento fatto al n. 14 delle mie Ricerche. 



« Nel secondo paragrafo stabilisco un legame che passa fra i punti doppi 

 di una serie irrazionale. La dimostrazione è tale da potersi estendere all'ente 

 doppio di una involuzione oo fJ sopra una varietà a d dimensioni, purché si 

 stabilisca in modo soddisfacente quel teorema sulle varietà, che costituisce la 

 naturale estensione del teorema di Nòther, qui adoperato, sulle curve sghembe. 



stemmi ,:. I. 



« Una curva algebrica C contenga una serie y-, 1 di genere n; dico che 

 si può costruire una curva C la quale sia riferita univocamente a G e giac- 

 cia sopra un cono (o rigata) di genere n le cui generatrici seghino su C 

 la serie corrispondente a y/. Si consideri infatti in uno spazio S d (dove il 

 numero delle dimensioni d è arbitrario, purché >2) un cono K di genere n le 

 cui rette generatrici possano riferirsi univocamente ai gruppi di ; e poi 

 descritta su G ima serie razionale g n l il cui gruppo generico non contenga 

 due punti appartenenti ad uno stesso gruppo di y,\ si riferiscano proietti- 

 vamente i gruppi di g n l agli spazi S<z-i di un fascio, il cui asse S d _ 2 non 

 passi per il vertice di K. Un punto qualunque a di C appartiene ad un 

 gruppo di y, 1 e ad un gruppo di g n l ; a questi corrispondono rispettivamente 

 una generatrice di K ed un S d -i del fascio e quindi il loro punto d'incontro 

 a; e mentre a descrive C, a' descrive la curva richiesta G'. Si vede subito 

 che una intersezione dell'asse S^o con K è multipla v volte per C', e che 

 un Sd_! del fascio sega in n punti fuori di Sd_ 2 la C'; sicché se m è l'or- 

 dine del cono, l'ordine di C' è 



n -f- m v . 



« Oltre agli m punti di S d - 2 , oltre al vertice del cono e ai punti gia- 

 centi su generatrici multiple di K, la C' può avere altri punti multipli; se 

 uno tra questi è a.uplo, vuol dire che certi a punti di C stanno tanto in 

 un gruppo di g n l quanto in un gruppo di y v x e reciprocamente. Possiamo 



considerare quel gruppo di a punti come equivalente ad \ Vj coppie comuni 



a g» e y->\ e in questo senso possiamo chiederci quante coppie siano comuni 

 a due serie g n l e giacenti sopra una stessa curva di dato genere ; cioè a 

 quanti punti doppi equivalgano i punti multipli che la C' ha fuori di Sj_ 2 

 e fuori dei punti multipli di K. Se x indica il numero richiesto, da una 

 nota forinola relativa alle curve giacenti su coni (') si deduce facilmente che 

 il genere di C' è 



p = (v — 1) (n — 1) + vn — x ; 



donde il teorema : 



(!) Sturai, Ueber das Geschlecht von Curven ciuf Kegeln. Math. Annalen, 19; vedi 

 anche Segre, Recherches générales sur les courbes et les surfaces réglées. Math. Ann., 34. 



