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«Una serie y., 1 di genere n ed una serie razionale g„ l 

 giacenti sopra una stessa curva di genere p, hanno 



(1) x = ( r — 1) (n — 1) — p + V 7t 



coppie comuni (o altrimenti infinite). 



« Un teorema analogo relativo ai gruppi di v punti comuni ad una y/ 

 e ad una g^~ l sovrapposte è dovuto al sig. Segre ( 1 ). 



« Se una serie y 1 di genere n ed una serie razionale 

 <?W V-1 giacciono sopra una stessa curva di genere p, senza 

 che ogni gruppo della prima serie stia in qualche gruppo 

 della seconda, esistono 



(2) y = i n — v -f- 1 ) — p-\-vir 



gruppi della prima serie che appartengono a gruppi della 

 seconda. 



« Donde si trae che se 



(3) n — v -f- 1 <C p — vii 



ogni gruppo della y/ deve giacere iti qualche gruppo della g„ v_1 ; chè dal- 

 l'ipotesi opposta si arriverebbe ad un assurdo {y <C 0). 



« Un importante conseguenza di questo teorema si trova quando si con- 

 sideri in uno spazio a r dimensioni S r una curva C d'ordine N e genere p 

 su cui giaccia una y/ ( r > v — 2 ). Se si fissano r — v -j- 1 punti ad ar- 

 bitrio su C, gli S,--! passanti per essi segano su C una serie razionale 

 ^n-V-n+d i della quale qualche gruppo (uno almeno) conterrà certo il gruppo 

 generico JH di y/ se 



j n — ( r — v -f 1 ) ( — ( v — l)<p — V7t , 



ossia 



N — r <Cp — vtc . 



Ma r non può stare in un S r - X con r — v -\- 1 punti arbitrari di C , se non 

 quando T è contenuto in un S v _ 2 ; dunque : 



«I gruppi di una serie y/ di genere n giacente sopra 



(') Sulle varietà algebriche . . . Eendic. Accad. d. Lincei, 2° semestre 1887. Il sig. Segre 

 ha osservato che la forinola generale (3) di quella sua Nota vale sempre (come appare 

 dalla sua dimostrazione) finché r z=kd purché se r = d — 1 vi si intenda con n la classe 

 della varietà V, mentre se r = d vi si ponga n = 0. In quest'ultimo caso ricavando z egli 

 ottenne la proposizione generale seguente: se sopra una curva di genere p giac- 

 ciono una jV di genere n ed una g n r lineare, esistono 



(oppure infiniti) gruppi di r-\-\ punti che stanno contemporaneamente 

 in un gruppo di y v l ed in un gruppo di g n r . — Da questo teorema generale 

 si deducono la nostra formola (1) per r=l e la (2) per r — v — 1. 



