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una curva d'ordine N e genere p di S r , stanno in spazi a 



v — 2 dimensioni (al più) quando 



(4) N — r <ip — vrt . 



« Questa proposizione può anche enunciarsi così : Se sopra una curva 

 di genere p giacciono una jV di genere n ed una g/ lineare, 

 e sussiste la (4), un gruppo della prima serie presenta al 

 più v — 1 condizioni ad un gruppo della seconda serie che 

 debba contenerlo ( 1 ). 



a Per ti = 0, assumendo per la g/ la serie canonica, la condizione (4) 

 è soddisfatta, e si ottiene così come caso particolare del nostro teorema una 

 delle forme sotto cui si può enunciare il noto teorema di Riemann-Roch, ap- 

 plicato alle serie semplicemente infinite. 



( l ) Al ragionamento con cui il sig. Castelnuovo ottenne questa notevole generalizza- 

 zione del teorema di Eiemann e Boch si può dare un'altra forma, la quale rende più evi- 

 dente la possibilità di sostituire alla (4) delle condizioni meno restrittive. Sulla C^ di S r 

 si abbia una jV di genere n ; e suppongasi che il gruppo generico di questa serie si com- 

 ponga di v punti linearmente indipendenti, cioè appartenga ad un S v -i : si tratta di pro- 

 vare che sotto certe condizioni quest' ipotesi è assurda. Supponendola verificata, e chia- 

 mando X l'ordine della varietà V costituita da quegli oo 1 S v -i (ove, nel caso estremo di 

 v — r-\-l si dovrà porre X = 0, ecc.), la formola generale (3) della mia Nota citata di 

 questi Eendiconti (ossia la (2) del presente scritto) darà 



(a) N — p _> X — vn-\- v — 1. 



Ora si consideri la curva in cui la varietà V di dimensione v è segata da un S r _ v +i . 

 Poiché X sarà il suo ordine, si avrà: 



(b) — p + 1 



(anche nei casi estremi di v = r-\-l e v==r). E sommando con la (a) : 



(c) N — p r — vn . 



Dunque se ha luogo invece la relazione (4), opposta a questa, si trae che l'ipotesi fatta 

 era assurda. — Ma in luogo della (b) si può scrivere una relazione più espressiva, se si 

 tien conto del genere n della curva d'ordine X appartenente all' S r _ v + i • Si ha cioè, 

 com'è ben noto : 



(V) X->r — v + l+7r 



se quella curva non è speciale ; e 



(b") X 2 (r - v + 1) 



se *è speciale. Quindi, combinando con la (a) si trae risp. : 



(c') N — p ->r — {y— 1) 7i 



o (c") N— p^2r — vn — V-f-I. 



Concludiamo che l'ipotesi primitiva è già assurda, e quindi che ha luogo il teorema sopra 

 esposto dal sig. Castelnuovo, quando, in luogo della condizione (4) del testo, ha luogo la 

 seguente: che sia in pari tempo 



N — p < r — {v — 1) 71 

 e N— p <.2r — v{n-\-l) . 



I):: ì resto in casi speciali da considerazioni ulteriori intorno alla varietà V si potranno 

 dedurre risultati anche più espressivi di questi. 



C. Segre. 



