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zioni di (P', dobbiamo conchiudere che le intersezioni della prima polare con d, 

 situate fuori dei punti 1), 2) e fuori di Y, formano un gruppo G residuo (nel 

 senso di Biemann-Roch) della serie descrittaci Ci dai coni d'ordine m — 3 

 aggiunti a K x . Ora il gruppo G è costituito evidentemente dai punti in cui 

 d è toccata dalle generatrici di K t , cioè dai punti doppi della serie jV; 



TV-I 



mentre ogni gruppo della serie residua g si compone di 2n — 2 gruppi 



V (27T-2) 



di tv 1 i quali, considerati come elementi di questa forma di genere n, costi- 

 tuiscono ivi un gruppo canonico. Abbiamo così il teorema : 



« Una serie }V di genere n (> 0) giacente sopra una curva 

 di genere p, possiede 



à = 2p — 2 — v (2/r — 2) 

 punti doppi il gruppo di questi (contati una volta sola) è re- 

 siduo dell'insieme di 2zr — 2 gruppi di che, considerati 

 come elementi di un ente di genere n (la y v x ), costituiscano 

 ivi un gruppo canonico ( 2 ). 



« Come corollario : 



«I S punti doppi di una serie oo 1 di genere tv giacente 



sopra una curva di genere p, presentano al più p — n condi- 



p-i 



zioni ad un gruppo della serie g cbe debba contenerli. 

 Le condizioni sono precisamente p — n allora ed allora soltanto, quando la serie 



TT-l 



residua g è completa, il cbe non sempre si verifica. 



V(27T— 2) 



« Va notato che il teorema fondamentale di questo II 0 § può anche 

 enunciarsi così: 



«Se sulla curva di genere p e d'ordine 2p — 2 di S^_i 

 esiste una serie jV di genere ?r>0, per i S punti doppi 

 della serie passa uno spazio S^-tt-i dal quale la curva viene 

 proiettata in una curva di genere n d'ordine In — 2 di S w _i 

 da contarsi v volte. Nel caso particolare v = 2 si ritrova un teorema a 

 cui il sig. Segre ( 3 ) giunse mediante considerazioni d'altra natura, che non 

 sembrano estensibili a valori superiori di v »> 



(') Il numero dei punti doppi di y v l si poteva anche dedurre applicando la nota 

 forinola di Zeuthen alla curva C e alla serie jV in corrispondenza (y, 1). 



( 2 ) Per 7r = 1 il teorema dice che il gruppo dei 2^ — 2 punti doppi è canonico. 

 Per n = 0, modificando leggermente la dimostrazione del caso n > 0, si troverebbe : 



Una serie razionale g v l giacente sopra una curva di genere p possiede 



p— 2+2V 



2p — 2-j-2c punti doppi, il cui gruppo appartiene alla s erie g^ _- a+?v de- 

 terminata da un gruppo canonico G^p-s preso insieme a due gruppi 

 della g v l . 



( 3 ) Sulle curve normali di genere p. Rendic. Istituto Lombardo 1888. 



