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tutti i punti del gruppo (Q) sono situati rispettivamente nei piani del gruppo (p), 

 e viceversa per i gruppi (q) e (P). Analogamente nel piano. 



Teorema IV. I punti di un gruppo (P) sono situati in una curva trascenden- 

 te X ('), qualunque punto di questa curva dà luogo ad un gruppo inscritto nella 

 medesima, così ciascuna sua tangente e ciascun suo piano osculatore. Essa ha la 

 medesima sviluppabile polare rispetto alle due superficie. Un punto di essa comune 

 con una delle due superficie (coniche) dà luogo a un gruppo inscritto nella curva , 

 i cui punti sono due a due coniugati rispetto alle due superficie Teorema II. La 

 curva X è algebrica in casi speciali. A queste curve X nel piano appartengono tutte 

 le curve d'ordine n dotate di un punto (n — l) p '° con n— 1 tangenti coincidenti e 

 con la singolarità correlativa. 



Se la curva tocca una delle due superficie in un punto, essa le toccherà ovunque 

 le incontra, ed avrà per polare reciproca la sua sviluppabile. Analogamente nel piano. 



Teorema V. Se il punto P è un punto comune alle due coniche nel piano, oppure 

 è uno dei punti di contatto di una delle tangenti comuni alle due coniche, allora il 

 gruppo corrispondente (P) è reciproco di se stesso rispetto alle due coniche. 



È interessante però lo studio della posizione delle due superficie (coniche) 

 quando il punto P )t cade nel punto P di partenza, ossia quando il gruppo si chiude. 

 Allora lo chiamo ciclo. 



Teorema VI. Se è data una superficie di 2° ordine e il punto P ;i deve cadere 

 nel punto P, allora vi sono n 3 — 1 superficie che con la data superficie soddisfanno 

 a tale condizione. Esse hanno lo stesso tetraedro coniugato comune. Per ciascun punto 

 dello spazio si ha un ciclo di n punti. Nel piano invece si hanno w 2 — l coniche 

 che con una data sono in una posizione tale, che il punto P, ( cade con P. Esse hanno 

 il medesimo triangolo coniugato comune. Le n 3 superficie e le n 2 coniche formano 

 un sistema che chiamo S. 



A questi cicli si applicano i teoremi precedenti. 



Teorema VII. Per due delle n 3 superficie dato un punto P si ottiene un ciclo 

 proiettivo di n punti (P)' 1 e un ciclo proiettivo di n piani polari (p) rt , che sono polari 

 reciproci rispetto alle due superficie. Se il punto P è situato in uno spigolo del tetraedro 

 coniugato comune, tutti gli n punti del ciclo (P)„ sono situati nel medesimo spigolo 

 e formano un ciclo proiettivo (di cui i punti doppi sono i vertici del tetraedro 

 coniugato situati nello spigolo) , i cui piani polari passano per lo spigolo opposto ; 

 oppure se il punto P è situato in un piano del tetraedro fondamentale il ciclo (P)" 

 è situato nel medesimo piano e i piani del ciclo (p)' 1 passano per il vertice op- 

 posto. Analogamente per le coniche. 



Teorema Vili. Se n =fe= a.b.c.m il gruppo di n 3 superficie (coniche) contiene 

 i gruppi di superficie (coniche) corrispondenti ad n = a, b, ... , m. 



Teorema IX. Se per un certo numero di cicli differenti di n punti rispetto a due 

 delle n 3 superficie si può far passare una sola curva o superficie, essa avrà la stessa 

 sviluppabile o superficie reciproca rispetto alle due superficie. Per ciascun punto di 

 una tale curva o superficie, il ciclo corrispondente è inscritto nella curva o superficie, 



,(')' Vedi Battaglini e Clebsch 1. c. 



