polo rispetto alla 2 a e così via si ottiene un ciclo proiettivo di punti (P„) B inscritto in 

 una curva algebrica X (Vedi Teorema IV), a cui corrisponde un ciclo proiettivo (p 0 n ), 

 i quali cicli, sono indipendenti dall'ordine delle n superficie della ennupla. Essi sono 

 polari reciproci rispetto alle medesime, come anche la curva X e la sviluppabile in- 

 viluppata dai piani di (p a )\ Il ciclo di n 3 punti (P)" 3 si decompone rispetto alle n 2 

 ennuple di 3 a specie (A) n (P>)' ! .... (N 2 )" in n 2 cicli proiettivi (P a )» (P,,)" .... (P,, 2 )" a 

 cui corrispondono n 2 cicli proiettivi {p a f (p b ) n .... (p« 2 )- Un ciclo per es. (P 0 )" ha per 

 polari reciproci rispetto alle n 2 ennuple di 3 a specie i cicli (p a ) n .... (p«T- Analo- 

 gamente nel piano. 



Casi speciali. 



Per lo sviluppo della 2 a Nota m' interessa in particolar modo di considerare i 

 casi n= 2. 



1° Caso n = 2. 



Nel piano si ottengono 4 coniche che Steiner chiama armoniche (harmonische 

 Kegelschnitte) (') , sono quattro coniche che si ottengono cercando anche le coniche, 

 rispetto alle quali due date sono polari reciproche. Queste coniche sono state stu- 

 diate da Schròter, da Kosannes e Cremona Nello spazio si hanno 8 superficie 

 di 2° ordine, che risultano anche cercando le superficie rispetto alle quali due dato 

 il 2° ordine sono polari reciproche ( 3 ). La ricerca un po' intima di queste superficie 

 mi pare non sia stata fatta da alcuno, del resto ne ho bisogno nella Nota succes- 

 siva, onde enuncerò i teoremi che più m' interessano e che non sono che corollari 

 di quelli già enunciati nel caso generale. 



Teorema XXIV. Le 8 = n 3 superficie armoniche di 2° ordine, che si ottengono 

 per n = 2 si dividono in due gruppi di 4 superficie. Quelle di un gruppo sono el- 

 lissoidi, di quelle del 2° tre sono iperboloidi e una è immaginaria. 



Teorema XXV. Le 8 superficie tagliano ciascun spigolo del tetraedro coniugato 

 fondamentale in due coppie di punti, di cui una è immaginaria. Esse tagliano ciascuna 

 faccia del tetraedro in 4 coniche che formano un sistema di 4 coniche armoniche. In 

 una di queste coniche si toccano due superficie del sistema. Vedi Teorema XVI. 



Teorema XXVI. Ciascuna delle 8 superficie è reciproca di se stessa rispetto alle 

 altre 7. Teorema XI. 



Teorema XXVII. Le due superficie di uno stesso gruppo hanno 4 rette in comune, 

 quelle di diversi gruppi si toccano lungo una conica, situata in una faccia del te- 

 traedro coniugato. Ci sono 4 coppie di superficie, che s'incontrano rispettivamente 

 nei lati di un quadrangolo gobbo, che ha i vèrtici sopra due determinati spigoli op- 

 posti del tetraedro coniugato. Vedi Teorema XVI e XVII. 



Teorema XXVIII. Per due superficie di uno stesso gruppo, vi sono infiniti tetraedri 

 coniugati all' una e inscritti e altri circoscritti all'altra. Per due di diversi gruppi 

 ci sono infiniti tetraedri coniugati all' una e i cui spigoli toccano l'altra. 



O Voi. 32 Creile. 



(2) SchrOter e Steiner'sche Vorlesungen p. 386 e Kosannes, Inaug. dissertation. Cremona, In- 

 troduzione alle curve piane. 



(s) Battaglini. Atti della r. Accademia dei Lincei 1812 e D'Ovidio. Giornale di Napoli, voi. X. 



