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Teorema XXIX. Se di un punto P si trova il piano polare rispetto ad una delle 

 8 superficie, di questo il piano polare rispetto alla prima, si ottiene un ciclo 

 di n=2 punti PPi e due piani polari pp { . La retta E che congiunge P e P t (retta 

 d'intersezione de' due piani) se le due superficie appartengono ad un gruppo, si 

 appoggia a due spigoli opposti del tetraedro coniugato fondamentale , se invece le 

 superficie sono di gruppi diversi la prima passa per uno dei vertici e la seconda 

 giace nella faccia opposta del tetraedro coniugato fondamentale. Vedi Teorema XIX. 



Teorema XXX. Se di un punto P si trova il ciclo corrispondente di 8 punti 

 rispetto alle 8 superficie, e il ciclo degli 8 piani polari corrispondenti, essi formano 

 due figure polari reciproche rispetto alle 8 superficie; gli 8 punti formano due 

 tetraedri,, che sono prospettivi in 4 maniere differenti per i vertici del tetraedro fon- 

 damentale come centri e le faccie opposte come piani di omologia. Analogamente 

 per gli 8 piani. Vedi Teorema XXI. 



Questi tetraedri omologici in 4 maniere differenti si studiano nella 2 a Nota. 



Teorema XXXI. Uno dei tetraedri degli 8 punti ed uno dei tetraedri degli 8 piani 

 polari sono « iperboloidici » ( l ) in 4 maniere differenti. I quattro iperboloidi cosi 

 generati formano un fascio. Ci sono altri 4 iperboloidi che hanno la medesima pro- 

 prietà e che appartengono al medesimo fascio. Hanno per coniugato il tetraedro fon- 

 damentale. 



Teorema XXXII. I quattro accennati tetraedri degli 8 punti e degli 8 piani danno 

 luogo con le intersezioni delle loro faccie ad altri 8 iperboloidi di un fascio, che 

 hanno pure per tetraedro coniugato il fondamentale. 



Teorema XXXIII. Uno degli 8 iperboloidi del 1° gruppo, ha per polare reciproco 

 rispetto alle 8 superficie, gli 8 iperboloidi del 2°. 



Teorema XXXIV. I lati del tetraedro fondamentale coniugato, vengono tagliati 

 dalle 8 superficie in due coppie di punti, una delle quali immaginaria. La coppia 

 di vertici del lato e le due coppie, hanno la proprietà, che due di esse sono divise 

 armonicamente . dalla terza. 



Queste coppie di punti formano una figura, che Klein ha studiato nella sua 

 Memoria Ueber die Liniencompleoce l en u. 2 en Grades ( 2 ) e perciò è da immagi- 

 narsi quanto interesse presenti; essa è il nocciolo delle configurazioni della 2 a Nota. 



Teorema XXXV. Tre cicli di 8 punti (P) (Q) (R) sono situati in una super- 

 ficie di 2° ordine, che ha la medesima polare reciproca rispetto alle 8 superficie. 

 Per qualunque punto di essa o per qualunque sua tangente o piano tangente il ciclo 

 corrispondente è inscritto in essa o è circoscritto ad essa. Vedi Teorema XIII. 

 2° Caso w = 3. 



Teorema XXXVI. Pel caso n = 3 si ottengono nel piano 9 coniche, che si sepa- 

 rano in 12 terne, tali che se di una conica di una terna si trova la polare reciproca 

 rispetto ad un' altra della stessa terna si trova la terza della medesima. Una conica 



( T ) Chiamo iperboloidici due tetraedri quando i loro vertici sono rispettivamente allineati me- 

 diante 4 rette situate in un iperboloide. Le faccie si tagliano secondo 4 rette pure di un iperboloide. 

 V. Chasles, Apercu historique. 



(s) Voi. II. Math. Innalen. 



